Maths NCERT Solutions Class 9 Hindi Medium

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 11 Constructions (Hindi Medium)

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प्रश्नावली 11.1

Ex 11.1 Class 9 गणित प्रश्न 1. एक दी हुई किरण के प्रारम्भिक बिन्दु पर 90° के कोण की रचना कीजिए और कारण सहित रचना की पुष्टि कीजिए।
हल-
दिया है : AB एक दी हुई किरण है जिसका प्रारम्भिक बिन्दु A है।
रचना करनी है : किरण AB के बिन्दु A पर 90° के कोण की।
विश्लेषण : हम 60° का कोण बना सकते हैं। इस कोण के साथ 60° को एक संलग्न कोण बनाकर उसे समद्विभाजित करें और इसमें जोड़ दें तो 90° का कोण प्राप्त होगा।

रचना के पद :

1. सर्वप्रथम किरण AB खींची।
2.  बिन्दु A को केन्द्र मानकर किसी त्रिज्या का चाप । खींचा जो किरण AB को बिन्दु P पर काटता है।
3. अब P को केन्द्र मानकर उसी त्रिज्या का एक चाप खींचा जो पहले चाप को बिन्दु Q पर काटता है।
   तब, ∠PAQ = 60°
4. पुनः Q को केन्द्र मानकर उसी (AP) त्रिज्या से एक अन्य चाप खींचा जो पहले चाप को बिन्दु R पर काटता है।
   तब ∠QAR = 60°
5. अब, बिन्दु ९तथा R को केन्द्र मानकर चाप खींचे जो परस्पर बिन्दु C पर काटते हैं। रेखाखण्ड CA खींचा। ∠CAQ = 30° है।
   इस प्रकार ∠CAB = 60° + 30° = 90°
   अत: ∠CAB अभीष्ट कोण है।

Ex 11.1 Class 9 गणित प्रश्न 2. एक दी हुई किरण के प्रारम्भिक बिन्दु पर 45° के कोण की रचना कीजिए और कारण सहित रचना की पुष्टि कीजिए।
हल-
दिया है : OP एक दी हुई किरण है जिसका प्रारम्भिक बिन्दु 0 है।
रचना करनी है : किरण OP के बिन्दु 0 पर 45° के कोण की।
विश्लेषण : 45° = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 90°
अतः 90° का कोण बनाकर उसे समद्विभाजित करके 45° का कोण प्राप्त होगा।

रचना के पद :

1. सर्वप्रथम किरण OP खींची।
2. बिन्दु O को केन्द्र मानकर किसी त्रिज्या का एक चाप लगाया जो किरण OP को A पर काटता है।
3. पुनः A को केन्द्र मानकर उसी त्रिज्या का एक चाप खींचा जो पहले चाप को B पर काटता है।
4. B को केन्द्र मानकर उसी त्रिज्या का एक अन्य चाप खींचा जो केन्द्र O वाले चाप को C पर काटता है।
5. अब, B तथा C को केन्द्र मानकर किसी त्रिज्या के चाप खींचे जो परस्पर बिन्दु R पर काटते हैं। रेखाखण्ड OR खींचा जो चाप BC को D पर काटता है। तब, ∠POR = 90°
6. बिन्दुओं A तथा D को केन्द्र मानकर किसी त्रिज्या के दो चाप खींचे जो परस्पर बिन्दु Q पर काटते हैं। रेखाखण्ड OQ खींचा। ∠POQ = 45° क्योकि OQ ∠POR = 90° का समद्विभाजक है।
   अत: ∠POQ अभीष्ट कोण है।

Ex 11.1 Class 9 गणित प्रश्न 3. निम्नलिखित मापों के कोणों की रचना कीजिए :
(i) 30°
(ii) 22\(\frac { 1 }{ 2 }\)°
(iii) 15°
हल-
(i) रचना करनी है : 30° के कोण की।
विश्लेषण : 30° = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 60°

रचना के पद :

1. एक किरण \(\overset { \rightarrow }{ OA }\) खींची।
2. किरण \(\overset { \rightarrow }{ OA }\) के अन्त्य बिन्दु 0 को केन्द्र मानकर कोई त्रिज्या OB लेकर एक चाप लगाया।
3. अब B को केन्द्र मानकर उसी त्रिज्या से एक अन्य चाप खींचा जो पहले चाप को बिन्दु C पर काटता है।
   तब, ∠AOC = 60°
4. ∠AOC का अर्धक (समद्विभाजक) OD खींचा।
   अत: ∠AOD = 30° जो कि अभीष्ट कोण है।

(ii) रचना करनी है : 22\(\frac { 1 }{ 2 }\)° के कोण की।
विश्लेषण : 90° के कोण का समद्विभाजक खींचने पर 45° का कोण प्राप्त होता है और इस 45° के कोण का समद्विभाजक खींचने पर 22\(\frac { 1 }{ 2 }\)°का कोण प्राप्त होगा।

रचना के पद :

1. एक किरण \(\overset { \rightarrow }{ OA }\) खींची।
2. किरण \(\overset { \rightarrow }{ OA }\) के अन्त्य बिन्दु O को केन्द्र मानकर OP त्रिज्या का एक चाप खींचा जो किरण \(\overset { \rightarrow }{ OA }\) को बिन्दु P पर काटता है।
3. P को केन्द्र मानकर OP त्रिज्या से एक चाप खींचा जो पहले चाप को Q पर काटता है।
4. Q को केन्द्र मानकर उसी OP त्रिज्या का चाप खींचा जो चाप PQ को R पर काटता है।
5. Q और R को केन्द्र मानकर चाप खींचे जो परस्पर T पर काटता है। रेखाखण्ड OT खींचा जो चाप PQR को S पर काटता है।
   तब, ∠AOT = 90°
6. ∠AOT का समद्विभाजक OC खींचा। तब ∠AOC = 45°
7. ∠AOC का समद्विभाजक OB खींचा।
   अत: ∠AOB = 22\(\frac { 1 }{ 2 }\)°जो कि अभीष्ट कोण है।

(iii) रचना करनी है : 15° के कोण की।
विश्लेषण : 60° के कोण का समद्विभाजक 30° का कोण बनाया। अब 30° के कोण का समद्विभाजक 15का कोण बनाया।

रचना के पद :

1. किरण \(\overset { \rightarrow }{ OA }\) के अन्त्य बिन्दु O से किरण \(\overset { \rightarrow }{ OA }\) पर ∠AOC = 60° इस प्रश्न के खण्डे (i) में वर्णित विधि से बनाया।
2. ∠AOC का समद्विभाजक OD खींचा। ∠AOD = 30° है।
3. अब ∠AOD का समद्विभाजक OE खींचा।
   तब ∠AOE = 15° जो कि अभीष्ट कोण है।

Ex 11.1 Class 9 गणित प्रश्न 4. निम्नलिखित कोणों की रचना कीजिए और चाँदे द्वारा मापकर पुष्टि कीजिए :
(i) 75°
(ii) 105°
(iii) 135°

Ex 11.1 Class 9 गणित प्रश्न 5. एक समबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए, जब इसकी भुजा दी हो तथा कारण सहित रचना कीजिए।
हल-
दिया है : ‘समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा BC।
रचना करनी है : समबाहु त्रिभुज ABC की।

रचना के पद :

1. रेखाखण्ड BC दी गई माप का खींचा।
2. B तथा C को केन्द्र मानकर BC त्रिज्या के दो चाप लगाए जो परस्पर बिन्दु A पर काटते हैं।
3. रेखाखण्ड AB तथा AC को मिलाया। ∆ABC अभीष्ट समबाहु त्रिभुज है।

उपपत्ति : AB = BC और AC = BC
AB = BC = AC
त्रिभुज ABC समबाहु ही है।

प्रश्नावली 11.2

Ex 11.2 Class 9 गणित प्रश्न 1. एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसमें BC = 7 सेमी, ∠B = 75° और AB + AC = 13 सेमी हो।
हल-
दिया है : ∆ABC में BC = 7 सेमी, ∠B = 75° और AB + AC = 13 सेमी है।
रचना करनी है : उपर्युक्त ∆ABC की।

रचना के पद :

1. एक किरण BX खींचकर उसमें से रेखाखण्ड BC = 7.0 सेमी काटा।
2. BC के बिन्दु B से BC पर ∠CBY = 75° बनाया।
3. BY में से BD = 13 सेमी काटा।
4. CD को मिलाया और उसका लम्ब समद्विभाजक खींचा जिसने BD को बिन्दु A पर काटा।
5. रेखाखण्ड AC खींचा।
   ∆ABC अभीष्ट त्रिभुज है।

Ex 11.2 Class 9 गणित प्रश्न 2. एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसमें BC = 8 सेमी, ∠B = 45° और AB – AC = 3.5 सेमी हो।
हल-
दिया है: ABC एक त्रिभुज है जिसमें BC = 8 सेमी, ∠B = 45° वे AB – AC = 3.5 सेमी है।
रचना करनी है : उपर्युक्त ∆ABC की।

रचना के पद :

1. एक रेखाखण्ड BC = 80 सेमी खींचा।
2. बिन्दु B से BC पर ∠XBC = 45° बनाया।
3. BX में से BD = 3.5 सेमी काटा।
4. CD को मिलाया।
5. CD को लम्ब समद्विभाजक खींचा जो बढ़ी हुई BD को A पर काटता है।
6. AC को मिलाया।
   ∆ABC अभीष्ट त्रिभुज है।

Ex 11.2 Class 9 गणित प्रश्न 3. एक त्रिभुज PQR की रचना कीजिए जिसमें QR = 6 सेमी, ∠Q = 60° और PR – PQ = 2 सेमी हो।
हल-
दिया है:  ∆PVR में, QR = 6 सेमी, ∠Q = 60° भुजा PQ < PR और PR – PQ = 2 सेमी है।

रचना के पद :

1. रेखाखण्ड QR = 6 सेमी खींचा।
2. Q से QR पर ∠XQR = 60° बनाया।
3. XQ को आगे बढ़ाया और उसमें से QS = (PR – PQ) या 2 सेमी काट लिया।
4. SR को मिलाया।
5. SR का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो OX को P पर काटता है।
6. रेखाखण्ड PR खींचा।
   अत: ∆PQR अभीष्ट त्रिभुज है।

Ex 11.2 Class 9 गणित प्रश्न 4. एक त्रिभुज XYZ की रचना कीजिए, जिसमें ∠Y = 30°, ∠Z = 90° और XY + YZ + ZX = 11 सेमी हो।
हल-
दिया है : ∆XYZ में, ∠Y = 30°, ∠Z = 90° है तथा XY + YZ + ZX = 11 सेमी है।
रचना करनी है : उपर्युक्त ∆XYZ की।
रचना के पद :

1. त्रिभुज के परिमाप (XY + YZ + ZX) = 11 सेमी के बराबर माप का रेखाखण्ड PQ खींचा।
2. P पर ∠RPQ = 30° व Q पर ∠SQP = 90° दिए हुए आधार कोण बनाए।
3. RPQ व ∠SQP के समद्विभाजक खींचे जो परस्पर शीर्ष X पर काटते हैं।
   
4. PX का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो PQ को Y पर काटता है।
5. QX का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो PQ को Z पर काटता है।
6. XY और XZ को मिलाया।
   अत: ∆XYZ अभीष्ट त्रिभुज है।

Ex 11.2 Class 9 गणित प्रश्न 5. एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए जिसका आधार 12 सेमी और कर्ण व अन्य भुजा का योग 18 सेमी हो।
हल-
दिया है : समकोण ∆ABC में आधार BC = 12 सेमी, ∠C = 90° तथा कर्ण AB व एक अन्य। भुजा AC का योग 18 सेमी हो।
रचना करनी है : उपर्युक्त समकोण ∆ABC की।

रचना :

1. रेखाखण्ड BC = 12 सेमी खींचा।
2. बिन्दु C से BC पर ∠BCX = 90° बनाया।
3. CX में से CD = (AB + AC) = 18 सेमी काट लिया।
4. रेखाखण्ड BD खींचा।
5. BD का लम्ब समद्विभाजक खींचा जिसने CD को बिन्दु A पर काटा।
6. रेखाखण्ड AB खींचा।
   अत: ∆ABC अभीष्ट त्रिभुज है।

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NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 Polynomials (बहुपद) (Hindi Medium)

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प्रश्नावली 2.1 

Ex 2.1 Class 9 गणित Q1. निम्नलिखित व्यंजकों में कौन-कौन एक चर में बहुपद हैं  और कौन-कौन नहीं हैं ? कारण के साथ उत्तर दीजिए :
(i) 4x² – 3x + 7 
(ii) y² + √2
(iii)3√t + t√2
(iv) y + \(\frac { 2 }{ y }\)
(v) x¹⁰ + y³ + t⁵⁰
हल:
(i) 4x² – 3x + 7
यह एक चर में बहुपद है क्योंकि चर घात एक प्राकृत संख्या है |

(ii) y² + √2
यह एक चर में बहुपद है क्योंकि चर घात एक प्राकृत संख्या है |

(iii)3√t + t√2
यह एक चर में बहुपद नहीं है क्योंकि चर का घात एक भिन्नात्मक संख्या है कोई प्राकृत संख्या नहीं है |

(iv) y + \(\frac { 2 }{ y }\)
यह एक चर में बहुपद नहीं है |

(v) x¹⁰ + y³ + t^​50
यह एक चर में बहुपद नहीं है | बल्कि यह तीन चर में बहुपद है |

Ex 2.1 Class 9 गणित Q2. निम्नलिखित में से प्रत्येक में x² का गुणांक लिखिए |
(i) 2 + x² + x 
(ii) 2 – x² + x³
iii) \(\frac { \pi }{ 2 }\) x² + x
(iv) √2x −1
हल: 
(i) 2 + x² + x
x² का गुणांक = 1

(ii) 2 – x² + x³
x² का गुणांक = –1 ​

(iii) \(\frac { \pi }{ 2 }\) x² + x
x² का गुणांक = \(\frac { \pi }{ 2 }\)

(iv) √2x −1
x² का गुणांक = 0 [क्योंकि यहाँ x² नहीं है इसलिए इसका गुणांक शून्य होगा |]

Ex 2.1 Class 9 गणित Q3. 35 घात के द्विपद का और 100 घात के एकपदी का एक-एक उदाहरण दीजिए|
हल:
35 घात का एक द्विपदी
⇒ 2x³⁵ + 5y ​
Note: द्विपदी का अर्थ दो पदों वाला व्यंजक जैसे –  x + 5, 3a – 2b, 3t + 7 आदि.
100 घात का एक एकपदी
⇒ 3y¹⁰⁰
Note: एकपदी का अर्थ एक पद वाला व्यंजक जैसे- 3x, 5t, y, 3xy आदि.

Ex 2.1 Class 9 गणित Q4. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक के घात लिखिए:
(i) 5x³ + 4x² + 7x
(ii) 4 – y²
(iii) 5t – √7
(iv) 3
हल:
(i) 5x³ + 4x² + 7x
उत्तर: बहुपद का घात = 3
[नोट: बहुत का घात ज्ञात करने के लिए सभी घातों में से सबसे बड़ी घात को चुना जाता है |]

(ii) 4 – y^​2
उत्तर: बहुपद का घात = 2

(iii) 5t – √7
उत्तर: बहुपद का घात = 1

(iv) 3
उत्तर: बहुपद का घात = 0
[नोट: चूँकि यहाँ कोई चर नहीं है इसलिए बहुपद का घात शून्य (0) है |]

Ex 2.1 Class 9 गणित Q5. निम्नलिखित को रैखिक, द्विघात और त्रिघात बहुपद में वर्गीकृत कीजिए:
(i) x^​2 + x 
(ii) x – x³ 
(iii) y + y² + 4
(iv) 1 + x
(v) 3t
(vi) r² 
(vii) 7x²
हल:
(i) x^​2 + x
उत्तर: द्विघात बहुपद

(ii) x – x³
उत्तर: त्रिघात बहुपद

(iii) y + y² + 4
उत्तर: द्विघात बहुपद

(iv) 1 + x
उत्तर: रैखिक बहुपद

(v) 3t
उत्तर: रैखिक बहुपद

(vi) r²
उत्तर: द्विघात बहुपद

(vii) 7x²
उत्तर: त्रिघात बहुपद

प्रश्नावली 2.2

Ex 2.2 Class 9 गणित प्र1. निम्नलिखित पर बहुपद 5x – 4x² + 3 के मान ज्ञात कीजिए :
(i) x = 0
(ii) x = –1
(iii) x = 2
हल:
(i) p(x) = 5x – 4x² + 3
बहुपद p(x) में x = 0 रखने पर
P(0) = 5(0) – 4(0)² + 3 = 0 – 0 + 3 = 3
अत: बहुपद का मान 3 है |

(ii) p(x) = 5x – 4x² + 3
बहुपद p(x) में x = -1 रखने पर
P(1) = 5(-1) – 4(-1)² + 3 = – 5 – 4 + 3 = – 9 + 3 = – 6
अत: बहुपद का मान – 6 है |

(iii) p(x) = 5x – 4x² + 3
बहुपद p(x) में x = 2 रखने पर
P(2) = 5(2) – 4(2)² + 3 = 10 -16 + 3 = – 3
अत: बहुपद का मान – 3 है |

Ex 2.2 Class 9 गणित Q2. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक के लिए p(0), p(1) और p(2) ज्ञात कीजिए| 
(i)  p(y) = y² – y + 1
(ii) p(t) = 2 + t + 2t ² – t ³
(iii) p(x) = x³
(iv) p(x) = (x – 1) (x + 1)
हल:
(i) p(y) = y² – y + 1
P(0) के लिए
P(0) = (0)²– 0 + 1 = 1
P(1) के लिए
P(1) = (1)²– 1 + 1
= 1 – 1 + 1 = 1
P(2) के लिए
P(2) = (2)²– 2 + 1
= 4 – 2 + 1 = 3

(ii) p(t) = 2 + t + 2t²– t³
P(0) के लिए
P(0) = 2 + 0 + 2(0)²– (0)³ = 2
P(1) के लिए
P(1) = 2 + 1 + 2(1)² – (1)³ = 4

P(2) के लिए
P(2) = 2 + 2 + 2(2)²– (2)³
= 4 + 8 – 8 = 4

(iii) p(x) = x³
P(0) के लिए
P(0) = (0)³ = 0
P(1) के लिए
P(1) = (1)³ = 1
P(2) के लिए
P(2) = (2)³ = 8

(iv) P(x) = (x – 1) (x + 1)
P(0) के लिए
P(0) = (0 – 1) (0 + 1) = (-1) (1) = -1
P(1) के लिए
P(1) = (1 – 1) (1 + 1) = 0 (1) = 0
P(2) के लिए
P(2) = (2 – 1) (2 + 1) = 1(3) = 3

Ex 2.2 Class 9 गणित Q3. सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपद के शुन्यक हैं :

हल:  
(i) P(x) = 3x + 1

p(x) = 0, अत: दिया गया x का मान बहुपद का शुन्यक है |
(ii) P(x) = 5x – π

= 5 – π
∵ ​P(x) ≠ 0
∴ x के लिए दिया गया मान P(x) का शुन्यक नहीं है|

(iii) P(x) = x² – 1

Ex 2.2 Class 9 गणित Q4. निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति मेंबहुपद का शुन्यक ज्ञात कीजिए :
(i) P(x) = x + 5
(ii) P(x) = x – 5
(iii) Px) = 2x + 5
(iv) P(x) = 3x – 2
(v) P(x) = 3x
(vi) P(x) = ax, a ≠ 0
हल (i) :
(i)   P(x) = x + 5
⇒ x + 5 = 0
⇒ x = – 5
बहुपद का शुन्यक – 5 हैं |

 हल (ii) :
(ii) P(x) = x – 5
⇒ x – 5  = 0
⇒ x = 5
बहुपद का शुन्यक 5 है|

बहुपद का शुन्यक \(\frac { -5 }{ 2 }\) है |

(iv)  P(x) = 3x – 2
3x – 2 = 0 ≠

बहुपद का शुन्यक \(\frac { 2 }{ 3 }\) है |

प्रश्नावली 2.3

Ex 2.3 Class 9 गणित Q1. x³ + 3x² + 3x + 1 को निम्नलिखित से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए : 
(i) x + 1 
(ii) x – \(\frac { 1 }{ 2 }\)
(iii) x 
(iv) x + θ
(v) 5 + 2x 
हल : (i) x³ + 3x² + 3x + 1 को x + 1 से भाग देने पर 

अत: भाग देने पर शेषफल 0 है|

हल : (iii)  x³ + 3x² + 3x + 1 को x से भाग देने पर       

अत: भाग देने पर शेषफल 1 है|

हल : (iv) x³ + 3x² + 3x + 1 को x + π से भाग देने पर 

अत: भाग देने पर शेषफल – π³ + 3π² – 3π + 1 है|
हल : (v) x³ + 3x² + 3x + 1 को 5 + 2x से भाग देने पर

Ex 2.3 Class 9 गणित Q2. x³ – ax² + 6x – a  को x – a से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए |
हल : p(x) = x³ – ax² + 6x – a  और g(x) = x – a है |
g(x) = x – a का शुन्यक
अत:  x – a = 0
x = a
अत: शेषफल प्रमेय से
p(x) को x – a से भाग देने पर शेषफल प्रमेय द्वारा शेषफल p(a) प्राप्त होगा |
इसलिए, p(a) = (a)³ – a(a)² + 6(a) – a
= a³ – a³ + 6a – a = 5a
अत: शेषफल 5a है |

प्रश्नावली 2.4

Ex 2.4 Class 9 गणित Q1. बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में से किस बहुपद का एक गुणनखंड x + 1 है|
(i) x³ + x² + x + 1
(ii) x⁴ + x³ + x² + x + 1
(iii) x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
(iv) x³ – x³ – (2 + √2)x + √2
हल : (i) p(x) = x³ + x² + x + 1
माना g(x) = x + 1 = 0
⇒ x = – 1
अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से
p(x) = 0 यदि x = -1 p(x) का शुन्यक है |
अत: p(x) में x = -1 रखने पर
p(x) = x³ + x² + x + 1
p(-1) = (-1)³ + (-1)² + (-1) + 1
= – 1 + 1 – 1 + 1 = 0
चूँकि p(-1) = 0 इसलिए -1 p(x) का शुन्यक है और x + 1 p(x) का एक गुणनखंड है |

हल : (ii) p(x) = x⁴ + x³ + x² + x + 1
माना g(x) = x + 1 = 0
⇒ x = – 1
अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से
p(x) = 0 यदि x = -1 p(x) का शुन्यक है |
अत: p(x) में x = -1 रखने पर
p(x) = x⁴ + x³ + x² + x + 1
p(-1) = (-1)⁴ + (-1)³ + (-1)² + (-1) + 1
= 1 – 1 + 1 – 1 + 1 = 1
चूँकि p(-1) = 1 इसलिए -1 p(x) का शुन्यक नहीं है इसलिए गुणनखंड प्रमेय से x + 1 p(x) का एक गुणनखंड नहीं है |

हल : (iii) p(x) = x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
माना g(x) = x + 1 = 0
⇒ x = – 1
अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से
p(x) = 0 यदि x = -1 p(x) का शुन्यक है |
अत: p(x) में x = -1 रखने पर
p(x) = x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
p(-1) = (-1)⁴ + 3(-1)³ + 3(-1)² + (-1) + 1
= 1 – 3 + 3 – 1 + 1 = 1
चूँकि p(-1) = 1 इसलिए -1 p(x) का शुन्यक नहीं है अत: गुणनखंड प्रमेय से x + 1 p(x) का एक गुणनखंड नहीं है |
माना g(x) = x + 1 = 0
⇒ x = – 1
अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से
p(x) = 0 यदि x = -1 p(x) का शुन्यक है |
अत: p(x) में x = -1 रखने पर
इसलिए -1 p(x) का शुन्यक नहीं है अत: गुणनखंड प्रमेय से x + 1 p(x) का एक गुणनखंड नहीं है |

Ex 2.4 Class 9 गणित Q2. गुणनखंड प्रमेय लागु करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में g(x), p(x) का एक गुणनखंड है या नहीं :
(i) p(x) = 2x³ + x² – 2x – 1, g(x) = x + 1
(ii) p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1, g(x) = x + 2
(iii) p(x) = x³ – 4x² + x + 6, g(x) = x – 3
हल : (i) p(x) = 2x³ + x² – 2x – 1, g(x) = x + 1
g(x) का शुन्यक
⇒  x + 1 = 0
अत: x = – 1
गुणनखंड प्रमेय लागु करने पर यदि p(-1) = 0, तो गुणनखंड है अथवा नहीं |
अत: p(x) = 2x³ + x² – 2x – 1  दिया है |
अब, p(-1) = 2(-1)³ + (-1)² – 2(-1) – 1
= 2 (-1) + 1 + 2 – 1 = – 2 + 1 + 2 – 1 = 0
चूँकि p(-1) = 0 है इसलिए -1 p(x) का एक शुन्यक है अत: गुणनखंड प्रमेय से x + 1 p(x) का एक गुणनखंड है |

हल : (ii) p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1, g(x) = x + 2
g(x) का शुन्यक
⇒ x + 2 = 0
अत: x = – 2
गुणनखंड प्रमेय लागु करने पर यदि p(-2) = 0, तो गुणनखंड है अथवा नहीं |
अत: p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1  दिया है |
अब, p(-2) = (-2)³ + 3(-2)² + 3(-2) + 1
= -8 + 12 – 6 + 1 = 13 – 14 = – 1
चूँकि p(-2) = – 1 है इसलिए -2 p(x) का एक शुन्यक नहीं है अत: गुणनखंड प्रमेय से x + 2 p(x) का एक गुणनखंड भी नहीं है |

हल : (iii) p(x) = x³ – 4x² + x + 6, g(x) = x – 3
g(x) का शुन्यक
⇒ x – 3 = 0
अत: x = 3
गुणनखंड प्रमेय लागु करने पर यदि p(3) = 0, तो गुणनखंड है अथवा नहीं |
अत: p(x) = x³ – 4x² + x + 6  दिया है |
अब, p(3) = (3)³ – 4(3)² + 3 + 6
= 27 – 36 + 3 + 6 = 36 – 36 = 0
चूँकि p(3) = 0 है इसलिए 3 p(x) का एक शुन्यक है अत: गुणनखंड प्रमेय से x – 3 p(x) का एक गुणनखंड है |

Ex 2.4 Class 9 गणित Q3. k का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में (x – 1), p(x) का एक गुणनखंड हो :
(i) p(x) = x² + x + k
(ii) p(x) = 2x² + kx + √2
(iii) p(x) = kx² – √2x + 1
(iv) p(x) = kx² – 3x + k
हल : (i) p(x) = x² + x + k
x – 1 p(x) का एक गुणनखंड है |
इसलिए x – 1 = 0 => x = 1
अत: 1 p(x) का शुन्यक है |
इसलिए p(1) = 0
अब p(x) = x² + x + k = 0
p(1) = (1)² + (1) + k = 0
1 + 1 + k = 0
2 + k = 0
k = – 2

हल : (ii) p(x) = 2x² + kx + √2
चूँकि x – 1 p(x) का एक गुणनखंड है|
इसलिए x – 1 = 0
⇒ x = 1
अत: 1 p(x) का शुन्यक है |
इसलिए p(1) = 0
अब p(x) = 2x² + kx + √2 = 0
p(1) = 2(1)² + k(1) + √2  = 0
2 + k + √2 = 0
k = – 2 – √2
k = – (2 + √2)

हल : (iii) p(x) = kx² – √2x + 1
चूँकि x – 1 p(x) का एक गुणनखंड है |
इसलिए x – 1 = 0 => x = 1
अत: 1 p(x) का शुन्यक है |
इसलिए p(1) = 0
अब p(x) = kx² – √2x + 1 = 0
p(1) = k(1)² – √2(1) + 1 = 0
k – √2 + 1 = 0
k = √2 – 1

हल : (iv) p(x) = kx² – 3x + k
चूँकि x – 1 p(x) का एक गुणनखंड है |
इसलिए x – 1 = 0
⇒ x = 1
अत: 1 p(x) का शुन्यक है |
इसलिए p(1) = 0
अब p(x) = kx² – 3x + k = 0
p(1) = k(1)² – 3(1) + k = 0
k – 3 + k = 0
2k – 3 = 0
2k = 3
k = 3/2

Ex 2.4 Class 9 गणित Q4. गुणनखंड ज्ञात कीजिए :
(i) 12x² – 7x + 1
(ii) 2x² + 7x + 3
(iii) 6x² + 5x – 6
(iv) 3x² – x – 4
हल : (i) 12x² – 7x + 1
⇒ 12x² – 3x – 4x + 1
⇒ 3x(4x – 1) – 1(4x – 1)
⇒ (4x – 1) (3x – 1)

हल : (ii) 2x² + 7x + 3
⇒ 2x² + 6x + x + 3
⇒ 2x(x + 3) + 1(x + 3)
⇒ (x + 3) (2x + 1)

हल :  (iii) 6x² + 5x – 6
⇒ 6x² + 9x – 4x – 6
⇒ 3x(2x + 3) – 2(2x + 3)
⇒ (2x + 3) (3x – 2)

हल : (iv) 3x² – x – 4
⇒ 3x² – 4x + 3x – 4
⇒ x(3x – 4) + 1(3x – 4)
⇒ (3x – 4) (x + 1)

Ex 2.4 Class 9 गणित Q5. गुणनखंड ज्ञात कीजिए :
(i) x³ – 2x² – x + 2
(ii) x³ – 3x² – 9x – 5
(iii) x³ + 13x² + 32x + 20
(iv) 2y³ + y² – 2y – 1
हल : (i) x³ – 2x² – x + 2
बहुपद का संभावित शुन्यक हैं – ±1 और ±2
अत: बहुपद x³ – 2x² – x + 2 में x = 1 रखने पर
p(x) = (1)³ – 2(1)² – (1) + 2
=  1 – 2 – 1 + 2 =  0
चूँकि p(x) = 0 है, अत: 1 p(x) का शुन्यक है इसलिए x – 1 p(x) का एक गुणनखंड है |

पहली विधि : x – 1 से x³ – 2x² – x + 2 में भाग देने पर

अत: x³ – 2x² – x + 2 = (x – 1) (x² – x – 2) [चूँकि p(x) = g(x) × q(x) ]
= (x – 1) (x² – 2x + x – 2)
= (x – 1) [x(x – 2) + 1(x – 2)]
= (x – 1) (x – 2) (x + 1)

नोट: चूँकि यह त्रिघात बहुपद है इसलिए इसके तीन शुन्यक होंगे और तीन गुणनखंड होंगे |

दूसरी विधि : हम यहाँ पर x – 1 से भाग की लंबी प्रक्रिया न अपनाकर गुणनखंड विधि से अन्य गुणनखंड प्राप्त कर सकते हैं | चूँकि एक गुणनखंड x – 1 प्राप्त है|
x³ – 2x² – x + 2 = x²(x -1) – x² – x + 2
= x²(x -1) – x(x – 1) – 2x + 2
= x²(x -1) – x(x – 1) – 2(x – 1)
= (x – 1) (x² – x – 2)
= (x – 1) (x² – 2x + x – 2)
= (x – 1) [x(x – 2) + 1(x – 2)]
= (x – 1) (x – 2) (x + 1)

तीसरी विधि : हमें बहुपद का संभावित शुन्यक ±1 और ±2 ज्ञात है :
p(x) में x = 1, – 1, 2 और – 2 रखने पर
p(1) = 0 है | अत: x – 1 एक गुणनखंड है |

अब p(-1) = x³ – 2x² – x + 2
= (-1)³ – 2(-1)² -(-1) + 2
= -1 – 2 + 1 + 2 = 0
अत: p(-1) = 0 है अत: x + 1 एक गुणनखंड है |

अब p(2) = x³ – 2x² – x + 2
= (2)³ – 2(2)² -(2) + 2
= 8 – 8 – 2 + 2
= 0
p(2) = 0 है अत: x – 2 p(x) का एक गुणनखंड है |

अब p(-2) = x³ – 2x² – x + 2
= (-2)³ – 2(-2)² -(-2) + 2
= -8 – 8 + 2 + 2
= -16 + 4 = -12
p(-2) ≠ 0 अत: – 2 p(x) का शुन्यक नहीं है |
अत:  x³ – 2x² – x + 2 के गुणनखंड है (x – 1) (x + 1) (x – 2)

हल : (ii) x³ – 3x² – 9x – 5
बहुपद का संभावित शुन्यक ± 1 और ±5 है |
बहुपद में x = -1 रखने पर
p(-1) = x³ – 3x² – 9x – 5
= (-1)³ – 3(-1)² – 9(-1) – 5
= -1 – 3 + 9 – 5 = 9 – 9 = 0
अत: x = -1 p(x) का शुन्यक है इसलिए x + 1 एक गुणनखंड है |
x³ – 3x² – 9x – 5 = x²(x + 1) – 4x² – 9x – 5
= x²(x + 1) – 4x(x + 1) – 5x – 5
= x²(x + 1) – 4x(x + 1) – 5(x + 1)
= (x + 1) (x² – 4x – 5)
= (x + 1) (x² – 5x + x – 5)
= (x + 1) [x(x – 5) +1(x – 5)]
= (x + 1) (x – 5) (x + 1)
अत: त्रिघात बहुपद के गुणनखंड (x + 1), (x – 5) और (x + 1) है |

हल : (iii) x³ + 13x² + 32x + 20
बहुपद का संभावित शुन्यक ±1, ±2, ±4, ±5, ±10 और ±20 हैं |
बहुपद में x = – 1 रखने पर
p(x) = x³ + 13x² + 32x + 20
= (-1)³ + 13(-1)² + 32(-1) + 20
= -1 + 13 – 32 + 20 = 33 – 33 = 0
चूँकि p(-1) = 0 है अत: x + 1 बहुपद का एक गुणनखंड है |
x³ + 13x² + 32x + 20 = x²(x + 1) + 12x² + 32x + 20
= x²(x + 1) + 12x(x + 1) + 20x + 20
= x²(x + 1) + 12x(x + 1) + 20(x + 1)
= (x + 1) (x² + 12x + 20)
= (x + 1) (x² + 10x + 2x + 20)
= (x + 1) [(x(x + 10) + 2(x + 10)]
= (x + 1) (x + 10) (x + 2)
अत: त्रिघात बहुपद के गुणनखंड (x + 1), (x + 10) और (x + 2) है|

हल : (iv) 2y³ + y² – 2y – 1
= y²(2y + 1) -1(2y + 1)
= (y² – 1) (2y + 1)
= (y + 1) ( y – 1) (2y + 1)
बहुपद के गुणनखंड (y + 1), ( y – 1) और (2y + 1)हैं |

उपयोगी बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ: 

1. (x + y)² = x² + 2xy + y²
2. (x – y)² = x² – 2xy + y²
3. x² – y² = (x + y) (x – y)
4. (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab
5. (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
6. (x – y)³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³
7. x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²)
8. x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²)
9. (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx
10. x³ + y³ + z³ – 3xyz = ( x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)

प्रश्नावली 2.5

Ex 2.5 Class 9 गणित Q1. उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए:
(i) (x + 4) (x + 10)
(ii) (x + 8) (x – 10)
(iii) (3x + 4) (3x – 5)

(v) (3 – 2x) (3 + 2x)
हल: 
(i) (x + 4) (x + 10) 
सर्वसमिका  (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(x + 4) (x + 10) = x² + (4 + 10)x + (4)(10)
= x² + 14x + 40

(ii) (x + 8) (x – 10) 
सर्वसमिका  (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(x + 8) (x – 10) = x² + [8 + (-10)]x + (8)(-10)
= x² – 2x – 80

(iii) (3x + 4) (3x – 5)
सर्वसमिका  (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(3x + 4) (3x – 5) = (3x)² + [4 + (-5)]3x + (4)(-5)
= 9x² – 3x – 20

सर्वसमिका (x + y) (x – y) = x² – y² का प्रयोग करने पर

(v) (3 – 2x) (3 + 2x)
सर्वसमिका (x + y) (x – y) = x² – y² का प्रयोग करने पर  ​
(3 – 2x) (3 + 2x) = (3)² – (2x)²
= 9 – 4x²

Ex 2.5 Class 9 गणित Q2. सीधे गुना किये बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिए :
(i) 103 × 107
(ii) 95 × 96
(iii) 104 × 96
हल:
(i) 103 × 107 = (100 + 3) (100 + 7)
सर्वसमिका  (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(100 + 3) (100 + 7) = (100)²​ + (3 + 7)100 + 3×7
=10000 + 1000 + 21 = 11021

(ii) 95 × 96 = (90 + 5) (90 + 6)
सर्वसमिका  (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(90 + 5) (90 + 6) = (90)²​ + (5 + 6)90 + 5×6
= 8100 + 990 + 30 = 9120

(iii)  104 × 96 = (100 + 4) (100 – 4)
सर्वसमिका (x + y) (x – y) = x² – y² का प्रयोग करने पर  ​
(100)² – (4)²
= 10000 – 16 = 9984

Ex 2.5 Class 9 गणित 3. उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित का गुणनखंड कीजिए:
(i) 9x² + 6xy + y² 
(ii) 4y² – 4y + 1

हल:
(i) 9x² + 6xy + y² 
= (3x)² + 2.3x.y + (y)²     [ ∵ x² + 2xy + y² = (x + y)²]
∴ = (3x + y)²
=  (3x + y)  (3x + y)

(ii) 4y² – 4y + 1 
= (2y)² – 2.2y.1 + (1)²     [ ∵ x² – 2xy + y² = (x – y)²]
∴ = (2y – 1)²
=  (2y – 1)  (2y – 1)


[ ∵ x² – y² = (x + y) (x – y) ​]

Ex 2.5 Class 9 गणित Q4. उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए:
(i) (x + 2y + 4z)² 
(ii) (2x – y + z)² 
(iii) (–2x + 3y + 2z)²
(iv) (3a – 7b – c)² 
(v) (–2x + 5y – 3z)²
हल:
(i) (x + 2y + 4z)²  
यहाँ माना कि a = x, b = 2y, c = 4z और a, b तथा c का मान सर्वसमिका
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca में रखने पर
∴ (x + 2y + 4z)² = (x)² + (2y)² + (4z)² + 2(x)(2y) + 2(2y)(4z) + 2(4z)(x)
= x² + 4y² + 16z² + 4xy + 16yz + 8zx

(ii) (2x – y + z)² 
यहाँ माना कि a = 2x, b = – y, c = z और a, b तथा c का मान सर्वसमिका
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca में रखने पर
∴ (2x – y + z)² = (2x)² + (- y)² + (z)² + 2(2x)(- y) + 2(- y)(z) + 2(z)(2x)
= 4x² + y² + z² – 4xy – 2yz + 4zx

(iii) (–2x + 3y + 2z)²
यहाँ माना कि a = – 2x, b = 3y, c = 2z और a, b तथा c का मान सर्वसमिका
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca में रखने पर
∴ (-2x + 3y + 2z)²
= (-2x)² + (3y)² + (2z)² + 2(-2x)(3y) + 2(3y)(2z) + 2(2z)(-2x)
= 4x² + 9y² + 4z² – 12xy  + 12yz – 8zx

(iv) (3a – 7b – c)² 
यहाँ माना कि x = 3a, y = -7b, z = -c और x, y तथा z का मान सर्वसमिका
(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zxमें रखने पर
∴ (3a – 7b – c)²
= (3a)² + (-7b)² + (-c)² + 2(3a)(-7b) + 2(-7b)(-c) + 2(-c)(3a)
= 9a² + 49b² + c² – 42ab  + 14bc – 6ac

(v) (-2x + 5y – 3z)²
यहाँ माना कि a = – 2x, b = 5y, c = -3z और a, b तथा c का मान सर्वसमिका
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca में रखने पर
∴ (-2x + 5y – 3z)²
= (-2x)² + (5y)² + (-3z)² + 2(-2x)(5y) + 2(5y)(-3z) + 2(-3z)(-2x)
= 4x² + 25y² + 9z² – 20xy  – 30yz + 12zx

Ex 2.5 Class 9 गणित Q5. गुणनखंड कीजिए:
(i) 4x² + 9y² + 16z² + 12xy – 24yz – 16xz
हल:
(i) 4x² + 9y² + 16z² + 12xy – 24yz – 16xz
= (2x)² + (3y)² + (4z)² + 2(2x)(3y) + 2(3y)(4z) + 2(4z)(2x)
[∵ a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)² ]
= (2x + 3y + 4z)²
= (2x + 3y + 4z) (2x + 3y + 4z)

Ex 2.5 Class 9 गणित Q6. निम्नलिखित घनों को विस्तारित रूप में लिखिए :
(i) (2x + 1)³ 
(ii) (2a – 3b)³


हल:
(i) (2x + 1)³ 
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³]
(2x + 1)³ = (2x)³ + 3 (2x)² (1) + 3 (2x) (1)² + (1)³
= 8x³ + 12x² + 6x + 1

(ii) (2a – 3b)³
[सर्वसमिका के प्रयोग से (x – y)³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³]
(2a – 3b)³ = (2a)³ – 3 (2a)² (3b) + 3(2a) (3b)² – (3b)³
= 8a³ – 36a²b + 54ab² – 27b³

[सर्वसमिका के प्रयोग से (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³]


[सर्वसमिका के प्रयोग से (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³]

Ex 2.5 Class 9 गणित Q7. उपयुक्त सर्वसमिका का प्रयोग कर निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए :
(i) (99)³ 
(ii) (102)³ 
(iii) (998)³
हल : 
(i) (99)³ 
= (100 – 1)³
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³]
(100 – 1)³ = (100)³ – 3(100)²(1) + 3(100)(1)² – (1)³
= 1000000 – 30000 + 300 – 1 = 1000300 – 30001 = 970299

(ii) (102)³ 
= (100 + 2)³
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³]
(100 + 2)³ = (100)³ + 3 (100)² (2)+ 3 (100) (2)² + (2)³
= 1000000 + 60000 + 1200 + 8 = 1061208

(iii) (998)³
= (1000 – 2)³
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³]
(1000 – 2)³ = (1000)³ – 3 (1000)² (2)+ 3(1000) (2)² – (2)³
= 1000000000 – 6000000 + 12000 – 8
= 1000012000 – 6000008
= 994011992

Ex 2.5 Class 9 गणित Q8. निम्नलिखित का गुणनखंड कीजिए :
(i) 8a³ + b3 + 12a²b + 6ab²
(ii) 8a² – b² – 12a²b + 6ab²
(iii) 27 – 125a³ – 135a + 225a²
(iv) 64a³ – 27b³ – 144a²b + 108ab²

हल:
(i) 8a³ + b3 + 12a²b + 6ab² 
= (2a)³ +(b)³ + 3(2a)²(b) + 3(2a)(b)²
[सर्वसमिका के प्रयोग से  x³  + y³ + 3x²y + 3xy² = (x + y)³ ]
= (2a)³ +(b)³ + 3(2a)²(b) + 3(2a)(b)² = (2a + b)³
= (2a + b)(2a + b)(2a + b)

(ii) 8a² – b² – 12a²b + 6ab²
= (2a)³ – (b)³ – 3(2a)²(b) + 3(2a)(b)²
[सर्वसमिका के प्रयोग से  x³ – y³ – 3x²y + 3xy² = (x – y)³ ]
= (2a)³ – (b)³ – 3(2a)²(b) + 3(2a)(b)² = (2a – b)³​
= (2a – b)(2a – b)(2a – b)

(iii) 27 – 125a³ – 135a + 225a²
= (3)³ – (5a)³ – 3(3)²(5a) + 3(3)(5a)²
[सर्वसमिका के प्रयोग से  x³ – y³ – 3x²y + 3xy² = (x – y)³ ]
= (3)³ – (5a)³ – 3(3)²(5a) + 3(3)(5a)²= (3 – 5a)³​
= (3 – 5a)(3 – 5a)(3 – 5a)

(iv) 64a³ – 27b³ – 144a²b + 108ab²  
= (4a)³ – (3b)³ – 3(4a)²(3b) + 3(4a)(3b)²
[सर्वसमिका के प्रयोग से x³ – y³ – 3x²y + 3xy² = (x – y)³ ]
= (4a)³ – (3b)³ – 3(4a)²(3b) + 3(4a)(3b)² = (4a – 3b)³​
= (4a – 3b)(4a – 3b)(4a – 3b)
[सर्वसमिका के प्रयोग से x³ – y³ – 3x²y + 3xy² = (x – y)³ ]

Ex 2.5 Class 9 गणित Q9. सत्यापित कीजिए :
(i) x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²)
हल :
RHS = (x + y) (x² – xy + y²)
= x(x² – xy + y²) + y (x² – xy + y²)
= x³ – x²y + xy² + x²y – xy² + y³

= x³ + y³
∵ LHS = RHS सत्यापित

(ii) x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²)
हल :
RHS = (x – y) (x² + xy + y²)
x(x² + xy + y²) – y (x² + xy + y²)
= x³ + x²y + xy² – x²y – xy² – y³

= x³ – y³
∵ LHS = RHS सत्यापित |

Ex 2.5 Class 9 गणित Q10. निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंड ज्ञात कीजिए:
(i) 27y³ + 125z³ 
(ii) 64m³ – 343n³
हल : 
(i) 27y³ + 125z³ 
= (3y)³ + (5z)³
[सर्वसमिका के प्रयोग से x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²) ]
(3y)³ + (5z)³​ = (3y + 5y) [(3y)² – (3y)(5z) + (5z)²]
= (3y + 5y) (9y² – 15yz + 25z²)

(ii) 64m³ – 343n³
हल : 
(ii) 64m³ – 343n³
= (4m)³ – (7n)³
[सर्वसमिका के प्रयोग से x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²) ]
(4m)³ – (7n)³​ = (4m – 7n) [(4m)² + (4m)(7n) + (7n)²]
= (4m – 7n) (16m² + 28mn + 49n^​2)

Ex 2.5 Class 9 गणित Q11. गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए : 27x³ + y³ + z³ – 9xyz
हल : 
= (3x)³ + (y)³ + (z)³ – 9xyz
∵ x³ + y³ + z³ – 3xyz =  (x + y + z) (x² + y² + z^​2 – xy – yz – zx)
सर्वसमिका के प्रयोग से :
= (3x + y + z) ((3x)² + (y)² + (z)² – (3x)(y) – (y)(z) – (z)(3x))
= (3x + y + z) (9x² + y² + z² – 3xy – yz – 3zx)

Ex 2.5 Class 9 गणित Q12. सत्यापित कीजिए: 
x³ + y³ + z³ – 3xyz = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (x + y + z) [(x – y)² + (y – z)² + (z – x)²]
हल : 
LHS =  \(\frac { 1 }{ 2 }\) (x + y + z) [x² – 2xy + y² + y² – 2yz + z² + z² – 2xz + x²]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) (x + y + z) (2x² + 2y² + 2z² – 2xy – 2yz – 2xz)
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 2(x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – xz)
= (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – yz – xz)
= x³ + y³ + z³ – 3xyz [सर्वसमिका के प्रयोग से ]
LHS = RHS

Ex 2.5 Class 9 गणित Q13. यदि x + y + z = 0 हो, तो दिखाइए कि x³ + y³ + z³ = 3xyz है | ​
हल : x + y + z = 0 दिया है |
x³ + y³ + z³ – 3xyz = ( x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)
= (0) (x² + y² + z² – xy – yz – zx) = 0
अत: x³ + y³ + z³ – 3xyz = 0
या x³ + y³ + z³ = 3xyz सत्यापित

Ex 2.5 Class 9 गणित Q14. वास्तव में घनों का परिकलन किए बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए : 
(i) (-12)³ + (7)³ + (5)³
(ii) (28)³ + (-15)³ + (-13)³
हल : (i) (-12)³ + (7)³ + (5)³

प्रश्न 13. में हमने एक सर्वसमीका प्राप्त किया था कि यदि x + y + z = 0 हो तो
x³ + y³ + z³ = 3xyz है |
अत: इस सर्वसमिका में x = -12, y = 7 और z = 5 रखने पर
चूँकि – 12 + 7 + 5 => -12 + 12 = 0
अत: x + y + z = 0 है |
अब, x³ + y³ + z³ = 3xyz  [x, y, और z का मान रखने पर ]
=> (-12)³ + (7)³ + (5)³ = 3 × (-12) × 7 × 5
= – 1260

हल : (ii) (28)³ + (–15)³ + (–13)³
28 + (-15) + (-13) = 28 – 28 = 0
चूँकि x + y + z = 0 है |
इसलिए x³ + y³ + z³ = 3xyz
अब, (28)³ + (–15)³ + (–13)³​ = 3 × 28 × (-15) × (-13)
= 133380

Ex 2.5 Class 9 गणित Q15. नीचे दिए गए आयातों, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए है, में से प्रत्येक की लंबाई और चौड़ाई के लिए संभव व्यंजक दीजिये | 
(i) क्षेत्रफल : 25a² – 35a + 12 
(ii) क्षेत्रफल : 35y² + 13y – 12 
हल : (i) क्षेत्रफल : 25a² – 35a + 12
क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
अत: 25a² – 35a + 12 के दो गुणनखंड होंगे जिसमें एक लंबाई होगा और दूसरा चौड़ाई होगा |
गुणनखंड करने पर :
25a² – 35a + 12 = 25a² + 15a + 20a + 12
= 5a(5a + 3) + 4(5a + 3)
= (5a + 3) (5a + 4)
चूँकि (5a + 3) < (5a + 4) है |
अत: लंबाई = 5a + 4 और चौड़ाई = 5a + 3

हल : (ii) क्षेत्रफल : 35y² + 13y – 12
गुणनखंड करने पर
35y² + 13y – 12 ​= 35y²​ + 28y – 15y – 12
= 7y(5y + 4) – 3(5y + 4)
= (5y + 4) (7y – 3)
अत: लंबाई = 5y + 4 और चौड़ाई = 7y – 3

Ex 2.5 Class 9 गणित Q16. घनाभों (cuboids), जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं कि, विमाओं के लिए संभव व्यंजक क्या हैं ? 
(i) आयतन : 3x³ – 12x 
(ii) आयतन : 12ky² + 8ky – 20k 
हल : (i) आयतन : 3x³ – 12x
गुणनखंड करने पर
आयतन = 3x³ – 12x = 3x(x – 4)
चूँकि आयतन = L × B × H
अत: L = 3, B = x और H = x – 4

हल : (ii) आयतन : 12ky² + 8ky – 20k
आयतन = 12ky² + 8ky – 20k
= 4k (3y² + 2y – 5)
= 4k (3y² + 5y – 3y – 5)
= 4k [y (3y + 5) – 1(3y + 5)]
= 4k (3y + 5) (y – 1)
चूँकि आयतन = L × B × H
अत: L = 4k, B = (3y + 5) और H = (y – 1)

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NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 1 Number systems (Hindi Medium)

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प्रश्नावली 1.1 

Ex 1.1 Class 9 गणित Q2. 3 और 4 के बीच में छ: परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए |
Solution:
हमें छ: संख्याएँ प्राप्त करना है |
इसलिए, 6 + 1 = 7
अब, 3 और 4 को परिमेय संख्या के रूप में व्यक्त करने पर,

Ex 1.1 Class 9 गणित Q4. नीचे दिए गए कथन सत्य हैं या असत्य? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए।
(i) प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।
(ii) प्रत्येक पूर्णांक एक पूर्ण संख्या होती है।
(iii) प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।
Solution:
(i) प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या होती है। (सत्य)
कारण: क्योंकि पूर्ण संख्या में सभी प्राकृत संख्याएँ शामिल हैं |
(ii) प्रत्येक पूर्णांक एक पूर्ण संख्या होती है। (असत्य)
कारण: क्योंकि पूर्णांक में ऋणात्मक पूर्णांक भी होते हैं जबकि पूर्ण संख्याओं में कोई भी संख्या ऋणात्मक नहीं होता हैं |
(iii) प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्ण संख्या होती है। (असत्य)
कारण : परिमेय संख्या में अन्य कई प्रकार के संख्याएँ आती है जिनकों पूर्ण संख्या के जैसे प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है |

प्रश्नावली 1.2

Ex 1.2 Class 9 गणित Q1. नीचे दिए गए कथन सत्य हैं या असत्य हैं? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए।
(i) प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है। 
उत्तर:
(i) प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है। (सत्य)
कारण: क्योंकि वास्तविक संख्याओं में अपरिमेय संख्याएँ भी होती है |
(ii) संख्या रेखा का प्रत्येक बिन्दु √m  के रूप का होता है, जहाँ m एक प्राकृत संख्या है।
उत्तर:
(ii) संख्या रेखा का प्रत्येक बिन्दु √m  के रूप का होता है, जहाँ m एक प्राकृत संख्या है। (असत्य)
कारण: संख्या रेखा पर दोनों ऋणात्मक एवं धनात्मक संख्याएँ होती है, परन्तु प्रत्येक बिंदु पर एक वर्गमूल संख्या हो यह संभव नहीं है |
(iii) प्रत्येक वास्तविक संख्या एक अपरिमेय संख्या होती है।
उत्तर:
(iii) प्रत्येक वास्तविक संख्या एक अपरिमेय संख्या होती है। (असत्य)
कारण: क्योंकि वास्तविक संख्याओं के समूह में परिमेय सा संख्याएँ एवं अपरिमेय संख्याएँ दोनों होती हैं | केवल अपरिमेय संख्या नहीं होती हैं |

Ex 1.2 Class 9 गणित Q1. Q2. क्या सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय होते हैं? यदि नहीं, तो एक ऐसी संख्या के वर्गमूल का उदाहरण दीजिए जो एक परिमेय संख्या है।
उत्तर:
सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय नहीं होते हैं,
हम धनात्मक पूर्णांक 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, और 9 का उदाहरण लेते है |
√1 = 1 (परिमेय)
√2 = √2 (अपरिमेय)
√3 = √3 (अपरिमेय)
√4 = 2 (परिमेय)
√5 = √5 (अपरिमेय)
√6 = √6 (अपरिमेय)
√7 = √7 (अपरिमेय)
√8 = √8 (अपरिमेय)
√9 = 3 (परिमेय)
उपरोक्त उदाहरण में हम देखते हैं कि 1, 4 और 9 की वर्गमूल क्रमश: 1, 2, और 3 है जो परिमेय संख्या है |

Ex 1.2 Class 9 गणित Q3. दिखाइए कि संख्या रेखा पर √5  को किस प्रकार निरूपित किया जा सकता है।
​Solution:

OA = 1 इकाई, AB = 1 इकाई,
समकोण ΔAOB में, पाइथोगोरस प्रमेय से,
OB² = OA² + AB²
OB² = 1² + 1²
OB² = 2
​OB = √2
अब समकोण ΔBOC में, पाइथोगोरस प्रमेय से,
OC² = OB² + BC²
OC² = (√2)² + 1²
OC² = 2 + 1 = 3
OC = √3
अब समकोण ΔCOD में, पाइथोगोरस प्रमेय से,
OD² = OC² + DC²
OD² = (√3)² + 1²
OD² = 3 + 1 = 4
OD = √4 = 2
अब समकोण ΔDOE में, पाइथोगोरस प्रमेय से,
OE² = OD² + DE²
OE² = (2)² + 1²
OE² = 4 + 1 = 5
OE = √5
अब O को केंद्र और OE को त्रिज्या मानकर एक चाप खींचेगे जो संख्या रेखा को OE’ पर प्रतिच्छेद करता है जहाँ  OE = OE’ = है |

प्रश्नावली 1.3 

Ex 1.3 Class 9 गणित Q1. निम्नलिखित भिन्नों को दशमलव रूप में लिखिए और बताइए कि प्रत्येक का दशमलव प्रसार किस प्रकार का है:

Solution: 

Solution: 
और q पूर्णांक हैं जिनका 1 के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है अर्थात ये सह-अभाज्य संख्याएं हैं और इनका सांत दशमलव प्रसार है |
सांत दशमलव प्रसार के लिए q का अभाज्य गुणनखंड 2ⁿ या 5ⁿ या 2^m× 5ⁿ के रूप का होना चाहिए |

Ex 1.3 Class 9 गणित Q7. ऐसी तीन संख्याएँ लिखिए जिनके दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती हों |
हल : सभी अपरिमेय संख्याएँ अनवसानी अनावर्ती दशमलव प्रसार देती है| इसलिए तीन उदाहरण हैं – √2, √3, √5 आदि |

अर्थात 0.714285 ……. और 0.81818181… के बीच तीन अपरिमेय संख्याएँ हैं |
(i) 0.72010010001……
(ii) 0.751121231234……..
(iii) 0.80145672434890………

Ex 1.3 Class 9 गणित Q9. बताइए कि निम्नलिखित संख्याओं में कौन-कौन संख्याएँ परिमेय और कौन-कौन संख्याएँ अपरिमेय हैं |
(i)  √23
हल : अपरिमेय संख्या हैं |
(ii) √225  = 15 
हल : परिमेय संख्या है |
(iii) 0.3796
हल : परिमेय सख्या है |
(iv) 7.478778 ….
हल : अपरिमेय संख्या हैं |
(v) 1.101001000100001…..
हल : अपरिमेय संख्या हैं |

प्रश्नावली 1.4 

Ex 1.4 Class 9 गणित Q1. उत्तरोत्तर आवर्धन करके संख्या रेखा पर 3.765 को देखिये |
हल : 

Ex 1.4 Class 9 गणित Q2. 4 दशमलव स्थानों तक संख्या रेखा पर 4.2626…. को देखिए |
हल : 4 दशमलव स्थान तक 4.2626…. है |

प्रश्नावली 1.5

Ex 1.5 Class 9 गणित Q4. संख्या रेखा पर √9.3  को निरुपित कीजिए |
हल :
(i) एक 9.3 cm का रेखाखंड AB खींचिए और से 1 cm आगे बिंदु C तक बढाइये |
(ii) इसप्रकार बने रेखाखंड AC का लंब समद्विभाजक खींचिए जो AC को बिंदु O पर काटती है |
(iii) AO या CO को वृत्त की त्रिज्या मानकर एक अर्धगोला खींचिए |
(iv) बिंदु B से AC पर लंब खींचिए जो अर्धवृत की परिधि को बिंदु D पर काटती है | BD या BE अभीष्ट √9.3 का संख्या रेखा पर माप है |

प्रश्नावली 1.6 

Ex 1.6 Class 9 गणित Q1. ज्ञात कीजिए :

Ex 1.6 Class 9 गणित Q2. ज्ञात कीजिए :

Ex 1.6 Class 9 गणित Q3. सरल कीजिए : 

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NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 Triangles (त्रिभुज) (Hindi Medium)

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प्रश्नावली 7.1

Ex 7.1 Class 9 गणित Q1. चतुर्भुज ACBD में, AC = AD है और  AB, ∠A को समद्विभाजित करता है | (see Fig.). दर्शाइए ΔABC ≅ ΔABD है|
हल:

दिया है : AC = AD और AB ∠A को समद्विभाजित करता है|
सिद्ध करना :  Δ ABC ≅ Δ ABD.
प्रमाण :
Δ ABC तथा ΔABD में,
AC = AD [दिया है]
∠CAB = ∠BAD [AB ∠A समद्विभाजित करता है ]
AB = AB [उभयनिष्ठ]
SAS सर्वांगसमता नियम से
Δ ABC ≅ Δ ABD
BC = BD [CPCT]

Ex 7.1 Class 9 गणित Q2. ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें AD = BC है और ∠ DAB = ∠ CBA (see Fig.) है| सिद्ध कीजिए कि : 
(i) Δ ABD ≅ Δ BAC
(ii) BD = AC
(iii) ∠ ABD = ∠ BAC        
हल :
दिया है : ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें AD = BC और ∠ DAB = ∠ CBA  है|
सिद्ध करना है :

(i) Δ ABD ≅ Δ BAC
(ii) BD = AC
(iii) ∠ ABD = ∠ BAC
प्रमाण :
(i) Δ ABD तथा Δ BAC में,
AD = BC [दिया है]
∠ DAB = ∠ CBA   [दिया है]
AB = AB [उभयनिष्ठ]
SAS सर्वांगसमता नियम से
Δ ABD ≅ Δ BAC
(ii)  BD = AC [By CPCT]
(iii) ∠ ABD = ∠ BAC [By CPCT]

Ex 7.1 Class 9 गणित Q3. एक रेखाखंड AB पर AD और BC दो बराबर लंब रेखाखंड हैं (देखिये आकृति)| दर्शाइए कि CD, AB रेखाखंड को समद्विभाजित करता है|

हल :
दिया है : AD ⊥ AB और BC ⊥ AB है और AD = BC है |
सिद्ध करना है :
AO = BO अर्थात CD, AB रेखाखंड को समद्विभाजित करता है |
प्रमाण :
∆AOD तथा ∆BOC
∠AOD = ∠ BOC (शीर्षाभिमुख कोण)
∠DAO = ∠CBO  (प्रत्येक 90º)
BC = AD (दिया है)
ASA सर्वांगसमता नियम से
∆AOD ≅​ ∆BOC
∴  AO = BO   (By CPCT)
अत: CD, AB रेखाखंड को समद्विभाजित करता है |

Ex 7.1 Class 9 गणित Q4. l और m दो समांतर रेखाएँ हैं जिन्हें समांतर रेखाओं p और q का एक अन्य युग्म प्रतिच्छेद करता है| दर्शाइए कि ∆ABC ≅ ∆CDA है|

हल :
दिया है :l || m और p || q है जो एक दुसरे को A, B, C  तथा D पर प्रतिच्छेद करते हैं |
सिद्ध करना है : ∆ABC ≅ ∆CDA
प्रमाण :
l || m …….. (1)  दिया है |
p || q  ………(2)  दिया है |
समी० (1) तथा (2) से
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है |
अब, ∆ABC तथा ∆CDA में,
BC = AD  [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा ]
∠B = ∠D  [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख कोण ]
AC = AC  [दिया है ]
SAS सर्वांगसमता नियम से
∴   ∆ABC ≅ ∆CDA
Proved.

Ex 7.1 Class 9 गणित Q5. रेखा l कोण A को समद्विभाजित करती है और B रेखा l पर स्थित कोई बिंदु है | BP और BQ कोण A की भुजाओं पर B से डाले गए लम्ब हैं (देखिये आकृति 7.20) दर्शाइए कि :
(i) Δ APB ≅ Δ AQB
(ii) BP = BQ हैं, अर्थात बिंदु B कोण की भुजाओं से समदूरस्थ है 

हल:
दिया है : ∠PAQ को रेखा l समद्विभाजित करती है और BP तथा BQ, AP तथा AQ पर क्रमश: लंब है |
सिद्ध करना है : 
(i) Δ APB ≅ Δ AQB
(ii) BP = BQ
प्रमाण : 
(i) Δ APB तथा Δ AQB में,
∠APB = ∠AQB  (90^० प्रत्येक)
∠PAB = ∠QAB  (दिया है)
AB = AB (उभयनिष्ठ)
ASA सर्वांगसमता नियम से
Δ APB ≅ Δ AQB
∴  (ii) BP = BQ (By CPCT)

Ex 7.1 Class 9 गणित Q6. आकृति में, AC = AE, AB = AD और ∠ BAD = ∠ EAC है| दर्शाइए कि BC = DE है| 
हल : 
दिया है : AC = AE, AB = AD और ∠ BAD = ∠ EAC है|

सिद्ध करना है : BC = DE
प्रमाण : 
∠ BAD = ∠ EAC   ……… (1) दिया है
समी० के  दोनों पक्षों में ∠ CAD जोड़ने पर
∠ BAD + ∠ CAD = ∠ EAC + ∠ CAD
या  ∠ BAC = ∠ EAD   ……. (2)
Δ BAC तथा Δ DAE में
AC = AE (दिया है)
AB = AD (दिया है)
∠ BAC = ∠ EAD ……[समी० (2) से]
SAS सर्वांगसमता नियम से
Δ BAC ≅ Δ DAE
∴ BC = DE   (By CPCT)
Proved.

Ex 7.1 Class 9 गणित Q7. AB एक रेखाखंड है और P इसका मध्य-बिंदु है | D और E रेखाखंड AB के एक ही ओर स्थित दो बिंदु इस प्रकार हैं कि ∠ BAD = ∠ ABE और ∠ EPA = ∠ DPB है | (देखिए आकृति 7.22) | 

दर्शाइए कि : 
(i) Δ DAP ≅ Δ EBP
(ii) AD = BE
दिया है : AB एक रेखाखंड है और P इसका मध्य-बिंदु है|
∠ BAD = ∠ ABE और ∠ EPA = ∠ DPB है|
सिद्ध करना है : 
(i) Δ DAP ≅ Δ EBP
(ii) AD = BE
प्रमाण : 
∠ EPA = ∠ DPB    …..(1) दिया है |
समी० (1) के दोनों पक्षों में ∠ EPD जोड़ने पर
∠ EPA + ∠ EPD = ∠ DPB + ∠ EPD
या  ∠ DPA = ∠ EPB    ……… (2)
(1) Δ DAP तथा Δ EBP में
AP = BP  ……. (दिया है )
∠ BAD = ∠ ABE  ..(दिया है )
∠ DPA = ∠ EPB    ….[समी० (2) से]
ASA सर्वांगसमता नियम से
Δ DAP ≅ Δ EBP
(ii) AD = BE (BY CPCT)

Ex 7.1 Class 9 गणित Q8. संलग्न आकृति में, एक समकोण त्रिभुज ABC में, जिसमें ∠C समकोण है, M कर्ण AB का मध्य-बिन्दु है। C को M से मिलाकर D तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि DM = CM है। बिन्दु D को बिन्दु B से मिला दिया जाता है। दर्शाइए कि
(i) ∆AMC = ∆BMD
(ii) ∠DBC एक समकोण है।
(iii) ∆DBC = ∆ACB
(iv) GM = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AB

हल-
दिया है: ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠C = 90° है तथा कर्ण AB का मध्य-बिन्दु है। M है। रेखाखण्ड CM खींचकर इसे बिन्दु D तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि CM = DM है। बिन्दु D को बिन्दु B से मिलाकर रेखा BD खींची गई है।
सिद्ध करना है :
(i) ∆AMC = ∆BMD
(ii) ∠DBC एक समकोण है।
(iii) ∆DBC = ∆ACB
(iv) GM = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AB
उपपत्ति :
(i) ∆AMC और ∆BMD में, AM = BM (M, AB का मध्य बिन्दु है)
CM = DM (दिया है)
∠AMC = ∠BMD (रेखाखण्डों AB और CD के काटने से बने शीर्षाभिमुख कोण हैं)
∆AMC = ∆BMD (भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता से)
(ii, iii). ∆AMC = ∆BMD
AC = BD तथा AM = DM और CM = BM (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ)
AM = DM ……(1)
BM = CM …… (2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर।
AM + BM = CM + DM
AB = CD [AB = AM + BM तथा CM + DM = CD]
अब, ∆ACB और ∆DBC में,
AC = BD (∆AMC और ∆BMD की सर्वांगसमता से)
AB =CD (ऊपर सिद्ध किया जा चुका है)
BC = BC (उभयनिष्ठ)
∆ACB = ∆DBC (भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता से)
अब ∆ACB = ∆DBC
∠DBC = ∠ACB (एकान्तर कोण)
परन्तु दिया है कि ∠ACB या ∠C = 90°
∠DBC = 90°
अतः ∠DBC एक समकोण है।
(iv) दिया है कि M, AB का मध्य-बिन्दु है।
AM = BM और AM + BM = AB
अब AM + BM = AB
AM + AM = AB (BM के स्थान पर AM रखने पर)
2 AM = AB …….(3)
परन्तु ∆ACB = ∆DCB
AB = CD
\(\frac { 1 }{ 2 }\) AB = \(\frac { 1 }{ 2 }\) CD
AM = CM … (4)
समीकरण (3) व (4) से
2CM = AB
CM = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AB
इति सिद्धम.

प्रश्नावली 7.2

Ex 7.2 Class 9 गणित Q1. एक समबाहु त्रिभुज ABC में जिसमें AB = AC है, ∠B और ∠C के समद्विभाजक परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं| A और O को जोडिए | दर्शाइए कि :
(i) OB = OC
(ii) AO कोण ∠ A को समद्विभाजित करता है | 

हल: 
दिया है: समद्विबाहु त्रिभुज ABC में, जिसमें AB = AC,  और ∠ B और ∠ C कोण समद्विभाजक O पर मिलते हैं |
सिद्ध करना है :
(i) OB = OC
(ii) AO कोण ∠ A को समद्विभाजित करता है |
प्रमाण: ΔABC में हमें प्राप्त है:
AB = AC
∠ B = ∠ C [ बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं | ]
अथवा  \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠ B = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠C
इसलिए, ∠OBC = ∠OCB […1]
ΔABO and ΔACO में
AB = AC [दिया है ]
∠OBC = ∠OCB [समी0 1 से ]
AO = AO [उभयनिष्ठ]
SAS सर्वांगसमता नियम से
ΔABO ≅  ΔACO
OB = OC [ By CPCT ]
∠BAO = ∠CAO [ By CPCT ]
अत: AO कोण ∠A को समद्विभाजित करता है |

Ex 7.2 Class 9 गणित Q2. Δ ABC में, AD भुजा BC का लम्ब सम्द्विभाजक है (देखिये आकृति). दर्शाइए कि Δ ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है|.

हल:
दिया है : Δ ABC में, AD, BC का लंब सम्द्विभाजक है |.
सिद्ध करना है : Δ ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है.
प्रमाण: Δ ABD तथा Δ ACD में,
DB = DC    [चूँकि D BC को समद्विभाजित करता है ]
∠ BDA = ∠CDA [90^० प्रत्येक].
AD = AD [उभयनिष्ठ’]
SAS सर्वांगसमता नियम से
Δ ABD ≅ Δ ACD
AB =AC [by CPCT]
अत:, Δ ABC समद्विबाहु त्रिभुज है

Ex 7.2 Class 9 गणित Q3. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें बराबर भुजाओं BE और CF पर क्रमशः शीर्षलम्ब AC और AB खींचे गए हैं (देखिए आकृति। दर्शाइए कि ये शीर्षलम्ब बराबर हैं।
हल : 
दिया है : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें BE ⊥ AC और CF ⊥ AB जहाँ AB = AC है |

सिद्ध करना है : BE = CF.
प्रमाण :  यहाँ, BE ⊥ AC और CF ⊥ AB  (दिया है )
ΔABE और Δ ACF में
∠ AEB = ∠ AFC  (90^० प्रत्येक)
∠ A = ∠ A (उभयनिष्ठ)
AB = AC (दिया है )
ASA सर्वांगसमता कसौटी नियम से
ΔABE  ≅  Δ ACF
∴ BE = CF [ By CPCT ]
Proved.

Ex 7.2 Class 9 गणित Q4. ABC एक त्रिभुज है जिसमें AC और AB पर खींचे गए शीर्षलंब BE और CF बराबर हैं  (देखिए आकृति). दर्शाइए कि 
(i) Δ ABE ≅ Δ ACF
(ii) AB = AC, अर्थात, ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है|

हल : 
दिया है : ABC एक त्रिभुज है जिसमें
BE ⊥ AC और CF ⊥ AB है और BE = CF है |
सिद्ध करना है : 
(i) Δ ABE ≅ Δ ACF
(ii) AB = AC,अर्थात, ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है |
प्रमाण : 
(i) Δ ABE तथा Δ ACF में
BE = CF (दिया है )
∠ AEB = ∠ AFC (90^० प्रत्येक )
∠ A = ∠ A (उभयनिष्ठ)
ASA सर्वांगसमता नियम के उपयोग से
Δ ABE ≅ Δ ACF [सत्यापित -I ]
(ii) AB = AC  [By CPCT]
इसलिए, ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है |

Ex 7.2 Class 9 गणित Q5. ABC और DBC सामान आधार BC पर स्थित दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं (देखिए आकृति). दर्शाइए कि ∠ ABD = ∠ ACD है|
हल : 

दिया है : ABC और DBC सामान आधार BC पर बने दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं |
सिद्ध करना है : ∠ ABD = ∠ ACD
प्रमाण: ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है |
AB = AC (दिया है )
∴ ∠ ABC = ∠ ACB  ………. (1)
(बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)
इसीप्रकार,
BCD भी एक समद्विबाहु त्रिभुज है |
BD = CD (दिया है)
∴ ∠ DBC = ∠ DCB ………. (2)
(बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)
समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर
∠ ABC + ∠ DBC = ∠ ACB + ∠ DCB
Or, ∠ ABD = ∠ ACD
Proved.

Ex 7.2 Class 9 गणित Q6. ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है| भुजा BA बिंदु D तक इस प्रकार बढाया गया है कि AD = AB है (देखिए आकृति)|  दर्शाइए कि ∠ BCD एक समकोण है | 

हल : 
दिया है : ΔABC समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है |
भुजा BA को बिंदु D तक बढाई गयी है जिससे AD = AB है |
सिद्ध करना है : ∠ BCD = 90^०
प्रमाण: 
AB = AC ………….. (1)  (दिया है)
और  AB = AD ………….. (2)  (दिया है)

समीकरण (1) तथा (2) से हमें प्राप्त होता है |
AC = AD ……………(3)
∴ ∠3 = ∠4 …….. (4) (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण ..)
अब, AB = AC [समी० (1) से]
∴ ∠1 = ∠2 …. (5) (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण ..)
ΔABC में
बहिष्कोण ∠5 = ∠1 + ∠2 (बहिष्कोण अत:अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है )
अथवा, ∠5 = ∠2 + ∠2 [ समी० (5) से]
अथवाr, ∠5 = 2∠2  ……. (6)
इसीप्रकार,
बहिष्कोण ∠6 = ∠3 + ∠4
अथवा,  ∠6 = 2∠3 [समी०  (7) से
समीकरण (6) तथा (7) को जोड़ने पर]
∠5 + ∠6  = 2∠2 + 2∠3
∠5 + ∠6  = 2(∠2 + ∠3)
अथवा,  180^० = 2(∠2 + ∠3) [ ∵ ∠BAC + ∠DAC  = 180^० ]
अथवा,  ∠BCD = 90^०
Proved.

Ex 7.2 Class 9 गणित Q7. ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠ A = 90° और AB = AC. तो ∠ B और ∠ C ज्ञात कीजिए | 
हल  

दिया है : ABCएक समकोण त्रिभुज है जिसमें
∠ A = 90° और AB = AC है |
ज्ञात करना है : ∠B and ∠C
AB = AC (दिया है)
∴ ∠B = ∠C …………(1)
(बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण)
त्रिभुज ABC में,
∠A + ∠B + ∠C = 180^० (त्रिभुज के तीनों कोणों का योग)
90° + ∠B + ∠B = 180^० समीकरण (1) के प्रयोग से
2 ∠B = 180^० – 90°
2 ∠B = 90°
∠B =  45°
∴ ∠B = 45° and ∠C =  45°

Ex 7.2 Class 9 गणित Q8. दर्शाइए कि समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° का होता है|
हल : 

दिया है : ABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसमें
AB = BC = AC
सिद्ध करना है : 
∠A = ∠B = ∠C = 60°
प्रमाण :
AB = AC (दिया है )
∠B = ∠C ……… (1)   [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण]
AB = BC (दिया है)
∠A = ∠C  ………. (2)   [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण]
AC = BC (दिया है)
∠A = ∠B ………… (3)   [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण]
समीकरण (1), (2) और (3) से हमें प्राप्त होता है |
∠A = ∠B = ∠C  ………….. (4)
त्रिभुज ABC में
∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠A + ∠A + ∠A = 180°
3 ∠A = 180°
∠A = 60°
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°

प्रश्नावली 7.3

Ex 7.3 Class 9 गणित Q1. ΔABC और ΔDBC एक ही आधार BC पर बने दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि A और D भुजा BC के एक ही ओर स्थित हैं (देखिए आकृति)| यदि AD बढ़ाने पर BC को P पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए कि

(i)  ΔABD  ≅ ΔACD
(ii)  ΔABP  ≅ ΔACP
(iii)  AP कोण A और कोण D दोनों को समद्विभाजित करता है |
(iv) AP रेखाखंड BC का लम्ब समद्विभाजक है |
हल :
दिया है : ΔABC और ΔDBC दो समबाहु त्रिभुज हैं और AD को बढ़ाने पर BC को P पर प्रतिच्छेद करता है |

सिद्ध करना है :
(i)  ΔABD ≅ ΔACD
(ii)  ΔABP ≅ ΔACP
(iii)  AP कोण A और कोण D दोनों को समद्विभाजित करता है |
(iv) AP रेखाखंड BC का लम्ब समद्विभाजक है |
प्रमाण : ABC आधार BC पर बना समद्विबाहु त्रिभुज है |
इसलिए, AB = AC …….. (i)
इसी प्रकार, DBC भी एक समद्विबाहु त्रिभुज है |


समीकरण (iii) और (iv) से स्पष्ट है कि AP कोण A और कोण D दोनों को समद्विभाजित करता है|
Proved (III).

चूँकि ∠DPB = 90° हैं और BP = CP समी० (vi) से यह सिद्ध होता है कि AP रेखाखंड BC का लम्ब समद्विभाजक है|
Proved (IV).

Ex 7.3 Class 9 गणित Q2. AD एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC का एक शीर्षलम्ब है, जिसमें AB = AC है। दर्शाइए कि

(i) AD रेखाखंड BC को समद्विभाजित करता है।
(ii) AD कोण A को समद्विभाजित करता है।
हल :
दिया है : AD एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC का एक शीर्षलम्ब है, जिसमें AB = AC है।
सिद्ध करना है :
(i) AD रेखाखंड BC को समद्विभाजित करता है।
(ii) AD कोण A को समद्विभाजित करता है।
प्रमाण : ​

समीकरण (i) से सिद्ध होता है कि AD रेखाखंड BC को समद्विभाजित करता है।
और समीकरण (ii) से यह सिद्ध होता है कि AD कोण A को समद्विभाजित करता है।

Ex 7.3 Class 9 गणित Q3. एक त्रिभुज ABC की दो भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AM क्रमशः एक दूसरे त्रिभुज की भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PN के बराबर हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि


हल :
दिया है : त्रिभुज ABC की दो भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AM क्रमशः एक दूसरे त्रिभुज की भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PN के बराबर हैं |

Ex 7.3 Class 9 गणित Q4. BE और CF एक त्रिभुज ABC के दो बराबर शीर्षलंब हैं| RHS सर्वागसमता नियम का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज हैं |
हल :
दिया है : त्रिभुज ABC में दो बराबर शीर्षलंब BE और CF हैं |
अत: BE = CF है, BE ⊥ AC और CF ⊥ AB है |

Q5. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है | AP ⊥ BC खींच कर दर्शाइए कि ∠B = ∠C है | 
हल :
दिया है : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है | जिसमें AP ⊥ BC हैं |

प्रश्नावली 7.4

Ex 7.4 Class 9 गणित Q1. दर्शाइए कि समकोण त्रिभुज में कर्ण सबसे लंबी भुजा होती है |
हल :

दिया है : ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका
कोण B समकोण है और AC कर्ण है |
सिद्ध करना है : 

प्रमाण : Δ ABC का ∠B समकोण है |
अत: ∠A और ∠C न्यूनकोण है |
इसलिए, ∠B > ∠C  [क्योंकि B समकोण है और C न्यूनकोण है ]
∴ AC > AB  (i) (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)
पुन: ∠B समकोण है और ∠A न्यूनकोण है |
इसलिए, ∠B > ∠A  [क्योंकि B समकोण है और C न्यूनकोण है ]
∴ AC > BC  (ii) (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)
समी० (i) तथा (ii) से कर्ण AC सबसे बड़ी  भुजा है |
Proved.

Ex 7.4 Class 9 गणित Q2. आकृति 7.48 में, ΔABC की भुजाओं AB और AC को क्रमश: बिन्दुओं P तथा Q तक बढाया गया है| साथ ही, ∠PBC < ∠QCB है| दर्शाइए कि AC > AB है|
हल :

दिया है : ΔABC की भुजाओं AB और AC को क्रमश: बिन्दुओं P तथा Q तक बढाया गया है जिसमें, ∠PBC < ∠QCB है |
सिद्ध करना है : AC > AB
प्रमाण : AB और AC को क्रमश: बिन्दुओं P तथा Q तक बढाया गया है,
इसलिए, ∠ABC + ∠PBC = 180° …… (1) रैखिक युग्म
और    ∠ACB + ∠QCB = 180° …… (2) रैखिक युग्म
समीकरण (1) तथा (2) से
∠ABC + ∠PBC = ∠ACB + ∠QCB (चूँकि दोनों समी० का मान समान है)
जबकि ∠PBC < ∠QCB (दिया है)
अत: स्पष्ट है कि
∠ABC > ∠ACB
Proved.

Ex 7.4 Class 9 गणित Q3. आकृति 7.49 में, ∠B < ∠A और ∠C < ∠D है | दर्शाइए कि AD < BC है |
हल :

दिया है : Δ AOB और Δ COD में ∠B < ∠A और ∠C < ∠D है |
सिद्ध करना है : AD < BC
प्रमाण : Δ AOB में,
∠B < ∠A  (दिया है)
∴  AO < BO  …. (1)   (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)
अब, Δ COD में,
∠C < ∠D  (दिया है)
∴  DO < CO  …. (2)   (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)
समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर
AO + DO < BO + CO
या AD < BC
Proved.

Ex 7.4 Class 9 गणित Q4. AB और CD क्रमश: एक चतुर्भुज ABCD की सबसे छोटी और सबसे बड़ी भुजा हैं (देखिये आकृति)| दर्शाइए कि  ∠A > ∠C और ∠B > ∠D है|
हल :

दिया है : AB और CD क्रमश: एक चतुर्भुज ABCD की
सबसे छोटी और सबसे बड़ी भुजा हैं |
सिद्ध करना है :
(i) ∠A > ∠C
(ii) ∠B > ∠D
रचना : A को C से और B को D से मिलाया|
प्रमाण : (i) ΔABC में,

AB सबसे छोटी भुजा है, (दिया है)
अत:, BC > AB
∴ ∠2 > ∠5 …… (1) (बड़े भुजा की सम्मुख कोण बड़ी होती है)
अब, ΔACD में,
CD सबसे बड़ी भुजा है, (दिया है)
अत:, CD > AD
∴ ∠1 > ∠6 …… (2) (बड़े भुजा की सम्मुख कोण बड़ी होती है)
समी० (1) तथा (2) को जोड़ने पर
∠1 + ∠2 > ∠5 + ∠6
या  ∠A > ∠C
Proved.
(ii) इसी प्रकार ΔABD में,
AD > AB (क्योंकि AB सबसे छोटी भुजा है)
∴ ∠3 > ∠8  …… (3)
और ΔBCD में,
CD > BC (क्योंकि CD सबसे बड़ी भुजा है)
∴ ∠4 > ∠7 …… (4)
समी० (3) तथा (4) को जोड़ने पर
∠3 + ∠4 > ∠7 + ∠8
या ∠B > ∠D
Proved.

Ex 7.4 Class 9 गणित Q5. आकृति में PR > PQ  है और PS कोण QPR समद्विभाजित करता है | सिद्ध कीजिए कि  ∠PSR > ∠PSQ  है |
हल :

दिया है : PR > PQ और PS कोण QPR समद्विभाजित करता है |
सिद्ध करना है : ∠PSR > ∠PSQ  
प्रमाण : PS कोण QPR समद्विभाजित करता है | (दिया है )
∴ ∠QPS = ∠RPS …… (1)
और,  PR > PQ   (दिया है)
∴ ∠PQS > ∠PRS .……(2)
ΔPQS में,
∠QPS + ∠PQS + ∠PSQ = 180° ….. (3) (Δ के तीनों कोणों का योग)
इसीप्रकार, ΔPRS में,
∠PRS + ∠RPS + ∠PSR = 180° …. (4) (Δ के तीनों कोणों का योग)
समीकरण (3) और (4) से हम पाते है कि ..
∠QPS + ∠PQS + ∠PSQ = ∠PRS + ∠RPS + ∠PSR

या ∠PQS + ∠PSQ = ∠PRS + ∠PSR
जबकि ∠PQS > ∠PRS   समी० (2) से
अत: स्पष्ट है कि ∠PSQ < ∠PSR
Proved.

Ex 7.4 Class 9 गणित Q6. दर्शाइए कि एक रेखा पर एक दिए हुए बिंदु से, जो उस रेखा पर स्थित नहीं है, जितने रेखाखंड खींचे जा सकते हैं उनमें लम्ब रेखाखंड सबसे छोटा होता है।

हल :
दिया है : m एक रेखा है और O एक बिंदु है
जो m पर स्थित नहीं है| OP ⊥ m
सिद्ध करना है : OP < OQ < OR < OS
प्रमाण : OP ⊥ m दिया है |
∴ ∠OPQ = 90° और ∠OQP, ∠ORP, ∠OSP न्यूनकोण हैं |
अत: ∠OQP < ∠OPQ
∴   OP < OQ ….. (1)  (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)
इसीप्रकार, ∠ORP < ∠OPQ
∴   OP < OR ….. (2) (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)
समी० (1) तथा (2) से
OP < OQ < OR
OP जो लंब है सबसे छोटी भुजा है|

प्रश्नावली 7.5 (ऐच्छिक)

Ex 7.5 Class 9 गणित Q1. ABC एक त्रिभुज है। इसके अभ्यन्तर में एक ऐसा बिन्दु ज्ञात कीजिए जो ∆ABC के तीनों शीर्षों से समदूरस्थ है।

हल-
एक ∆ABC के अभ्यन्तर में एक ऐसा बिन्दु P ज्ञात करना है जो त्रिभुज के तीनों शीर्षों A, B व C से समान दूरी पर हो।
रचना विधि : रचना के पद निम्न हैं-

1. सर्वप्रथम दिया हुआ त्रिभुज ABC बनाइए।
2. अब, AB तथा BC के लम्ब समद्विभाजक खींचिए जो परस्पर बिन्दु P पर काटें।
3. रेखाखण्ड PA, PB और PC खींचिए।
   अतः P अभीष्ट बिन्दु है जो तीनों शीर्षों से समदूरस्थ है।

Ex 7.5 Class 9 गणित Q2. किसी त्रिभुज के अभ्यन्तर में एक ऐसा बिन्दु ज्ञात कीजिए जो त्रिभुज की सभी भुजाओं से समदूरस्थ है।

हल-
माना ABC एक त्रिभुज है जिसके अभ्यन्तर में एक ऐसा बिन्दु P ज्ञात करना है जो त्रिभुज की तीनों भुजाओं AB, BC और CA से समदूरस्थ हो।
रचना विधि : रचना के पद निम्न हैं-

1. सर्वप्रथम दिया हुआ ∆ABC बनाइए।
2. ∠B और ∠C के समद्विभाजक खींचिए जो परस्पर बिन्दु P पर काटें।
3. रेखाखण्ड PB तथा PC खींचिए।
   अतः P अभीष्ट बिन्दु है जो तीनों भुजाओं से समदूरस्थ है।

Ex 7.5 Class 9 गणित Q3. एक बड़े पार्क में लोग तीन बिन्दुओं (स्थानों) पर केन्द्रित हैं
A : जहाँ बच्चों के लिए फिसल पट्टी और झूले हैं।
B : जिसके पास मानव निर्मित एक झील है।
C : जो एक बड़े पार्किंग स्थल और बाहर निकलने के रास्ते के निकट है।
एक आइसक्रीम का स्टॉल कहाँ लगाना चाहिए ताकि वहाँ लोगों की अधिकतम संख्या पहुँच सके?
[संकेत : स्टॉल को A, B और C से समदूरस्थ होना चाहिए।]

हल-
A, B और C तीन बिन्दु स्थान हैं। आइसक्रीम का स्टॉल लगाने के लिए लोगों की उस पर अधिकतम पहुँच होने के लिए यह आवश्यक है कि स्टॉल तीनों स्थानों से समदूरस्थ हो।
अत: आइसक्रीम स्टॉल लगाने के लिए हमें एक ऐसे स्थान (बिन्दु) P का चयन करना है जो पार्क के तीनों स्थानों से समान दूरी पर हो।
ज्ञात करने की विधिः
1. बिन्दु A से बिन्दु B को, बिन्दु B से बिन्दु C को और बिन्दु C से बिन्दु A को ऋजु रेखाओं द्वारा मिलाकर ∆ABC बनाइए।
2. किन्हीं दो भुजाओं (AB व BC) के लम्ब समद्विभाजक खींचिए जो परस्पर बिन्दु P पर काटें।
आइसक्रीम स्टॉल के चयन के लिए उपयुक्त स्थान बिन्दु P होगा जो तीनों स्थानों से समदूरस्थ है।

Ex 7.5 Class 9 गणित Q4. संलग्न आकृति में षड्भुजीय और तारे के आकार की रंगोलियों को 1 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों से भरकर पूरा कीजिए। प्रत्येक स्थिति में त्रिभुजों की संख्या गिनिए। किसमें अधिक त्रिभुज हैं?

हल-
चित्रों से स्पष्ट है कि विकर्णो को मिलाने पर षड्भुजीय आकृति को 6 समबाहु त्रिभुजों में और तारे के आकार की आकृति को 12 समबाहु त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है जबकि समबाहु त्रिभुजों में प्रत्येक भुजा 5 सेमी है।

पुनः षड्भुजीय आकृति के एक समबाहु त्रिभुज जिसकी भुजा 5 सेमी है, को 1 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों में विभाजित कर स्पष्ट किया गया है कि 5 सेमी भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज को 1 सेमी भुजा वाले 25 त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है।
तब स्थिति 1 : षड्भुजीय रंगोली इसको 1 सेमी भुजा वाले 6 x 25 = 150 समबाहु त्रिभुजों में बाँटा जा सकता है।
स्थिति 2 : तारे के आकार की रंगोली
5 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों की संख्या = 12
आकृति में 1 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों की संख्या = 12 x 25 = 300
स्पष्ट है कि तारे के आकार वाली आकृति में त्रिभुजों की संख्या अधिक है।

Hope given NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 are helpful to complete your homework.

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 6 Lines and Angles (रेखाएँ और कोण) (Hindi Medium)

These Solutions are part of NCERT Solutions for Class 9 Maths in Hindi Medium. Here we have given NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 6 Lines and Angles.

प्रश्नावली 6.1

Ex 6.1 Class 9 गणित Q1.  आकृति. 6.13 में, रेखाएँ AB और CD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं | यदि  ∠AOC + ∠ BOE = 70° है और ∠BOD = 40° है तो ∠BOE और प्रतिवर्ती ∠COE ज्ञात कीजिए | 
हल:

∠BOD = 40°
∠AOC  = ∠BOD (शीर्षाभिमुख कोण)
∠AOC = 40°
∠AOC  + ∠ BOE = 70° (दिया है)
∠BOE = 70°
∠BOE = 70° – 40°
∠BOE = 30°
चूँकि, AOB एक सरल रेखा है |
इसलिए, ∠AOC +  ∠COE +∠BOE = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ 70° + ∠COE = 180°
⇒ ∠COE = 180° – 70°
⇒ ∠COE = 110°
प्रतिवर्ती ∠COE = 360 – 110° = 250°

Ex 6.1 Class 9 गणित Q2. आकृति 6.14 में, रेखाएँ  XY और MN बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं | यदि ∠POY = 90° और a : b= 2 : 3 है तो  c  ज्ञात कीजिए | 
हल :

∠POY=90° (दिया है)
माना  ∠a और ∠b = 2x और 3x है |
चूँकि, XOY एक सरल रेखा है |
इसलिए, ∠a + ∠b + ∠POY = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ 2x + 3x + 90°= 180°
⇒ 5x  = 180° ­­- 90°
⇒ 5x = 90°
⇒ x = 18°
अब, ∠a = 2 x 18° = 36°
∠b =3 x 18° = 54°
यहाँ, MON भी एक सरल रेखा है |
∠b + ∠c = 180°(रैखिक युग्म)
∠54° + ∠c = 180°
⇒ ∠c = 180° – 54° = 126°

Ex 6.1 Class 9 गणित Q3. आकृति 6.15 में, ∠PQR = ∠PRQ है, सिद्ध कीजिए कि ∠PQS = ∠PRT है | 
हल : 
दिया है : ∠PQR = ∠PRQ
सिद्ध करना है : ∠PQS = ∠PRT
प्रमाण :
∠PQS + ∠PQR = 180°  ………. (1)  रैखिक युग्म
∠PRT + ∠PRQ = 180°  ………. (2)  रैखिक युग्म
समीकरण (1) तथा (2) से
∠PQS + ∠PQR = ∠PRT + ∠PRQ
Or,  ∠PQS + ∠PQR = ∠PRT + ∠PQR    (∠PQR = ∠PRQ दिया है)

Or, ∠PQS = ∠PRT सिद्ध हुआ |

Ex 6.1 Class 9 गणित Q4. आकृति 6.16 में, यदि x + y = w + y है, तो सिद्ध कीजिए कि AOB एक सरल रेखा है| 

दिया है : x + y = w + z
सिद्ध करना है : AOB एक सरल रेखा है |
प्रमाण : x + y + w + z = 360^०
अथवा   x + y + x + y = 360^०
⇒  2x + 2y = 360^०
⇒ 2 (x + y) = 360^०
⇒ x + y = 180^०   (रैखिक युग्म)
जब कोई संलग्न दो कोणों का योग 180^० होता है तो रेखा सीधी एवं सरल होती है |
अत: AOB एक सरल रेखा है|
Hence Proved.

Ex 6.1 Class 9 गणित Q5. आकृति 6.17 में, POQ एक रेखा है | किरण OR रेखा PQ पर लम्ब है | किरणों OP और OR के बीच में OS एक अन्य किरण है | सिद्ध कीजिए:


हल: 
दिया है : ​POQ एक रेखा है और OR ⊥ PQ तथा OS ∠POR के बीच एक किरण है |
सिद्ध करना है : 

प्रमाण : ∠ROQ = 90^०    ( दिया है )
अब,  ∠POR + ∠ROQ = 180^० [रैखिक युग्म]
या  ∠POR + 90^० = 180^०
या  ∠POR = 180^० – 90^०
या     ∠POR = 90^०
∠ROS = ∠POR – ∠POS  ………. (1)
और
∠ROS = ∠QOS – ∠ROQ  ……… (2)
समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर
∠ROS + ∠ROS = ∠QOS – ∠ROQ + ∠POR – ∠POS
अथवा    2∠ROS = ∠QOS – 90^० + 90^० – ∠POS
अथवा    2∠ROS = ∠QOS – ∠POS

Proved.

Ex 6.1 Class 9 गणित Q6. यह दिया है कि ∠ XYZ = 64° है और XY को बिंदु P तक बढाया गया है | दी हुई सुचना से एक आकृति खींचिए | यदि किरण YQ, ∠ ZYP को समद्विभाजित करती है, तो ∠ XYQ और प्रतिवर्ती  ∠ QYP के मान ज्ञात कीजिए | 
हल : 

∠ XYZ = 64°
YQ, ∠ ZYP को समद्विभाजित करती है;
इसलिए
∠ QYP =  ∠ ZYQ     ………… (1)
XY को बिंदु P तक बढाया गया है |
∴ XYP एक सरल रेखा है |
अत: ∠ XYZ + ∠ QYP + ∠ ZYQ = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ 64° + ∠ QYP + ∠ QYP = 180°
⇒ 2∠ QYP = 180° – 64°
⇒ 2∠ QYP = 116°
⇒ ∠ QYP = 58°
⇒ ∠ QYP =  ∠ ZYQ = 58°
⇒ ∠ XYQ = ∠XYZ + ∠ ZYQ =  64° + 58° =  122°
प्रतिवर्ती ∠ QYP = 360° – 58° = 302°

प्रश्नावली 6.2

Ex 6.2 Class 9 गणित Q1. आकृति 6.28 में, x और y के मान ज्ञात कीजिए और फिर दर्शाइए कि AB || CD है।
हल : 

x + 50° =  180°   (रैखिक युग्म)
⇒ x = 180° –  50°
⇒ x = 130°
y = 130°
x = y = 130° (एकांतर कोण गुणधर्म से )
AB || CD

Ex 6.2 Class 9 गणित Q2. आकृति 6.29 में, यदि AB || CD, CD || EF और y : z = 3 : 7 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए | 

हल :
AB || CD …….. (1) दिया है ;
CD || EF …….. (2) दिया है ;
समीकरण (1) तथा (2) से हम पाते है कि
AB || EF ……….(3)
∴ x = z …….. (4)     एकांतर कोण
अब, y = 3k तथा z = 7k माना
AB || CD  दिया है;
∴ x + y = 180°    (एक ही ओर के अंत: कोणों का योग )
अथवा   z + y = 180°
⇒ 7k + 3k = 180°
⇒ 10k =  180°
⇒ k =  18°
चूँकि  x = z समी० (4) से
∴ x = 7k = 7 × 18° = 126°

Ex 6.2 Class 9 गणित Q3. आकृति 6.30 में, यदि AB || CD, EF ⊥ CD और ∠ GED = 126° है,तो ∠ AGE, ∠GEF   और ∠ FGE ज्ञात कीजिए |

हल : ∠GED = 126°
AB || CD दिया है |
∴ ∠AGE = ∠GED (एकांतर कोण)
अत : ∠AGE = 126°
∠GED = 126°
∠GED = ∠GEF + ∠FED = 126°
∠GEF + ∠FED = 126°
∠GEF + 90° = 126°    (∵ EF ⊥ CD ∴ ∠FED = 90°)
∠GEF = 126° – 90°
∠GEF = 36°
अब,
∠AGE + ∠FGE = 180°    ( रैखिक युग्म )
126° + ∠FGE = 180°
∠FGE = 180° – 126°
∠FGE = 54°
∠AGE = 126°, ∠GEF = 36° और ∠FGE = 54°

Ex 6.2 Class 9 गणित Q4.आकृति 6.31 में, यदिPQ || ST, ∠ PQR = 110° और ∠ RST = 130° है, तो ∠QRS ज्ञात कीजिए |

[संकेत : बिंदु R से होकर ST के समांतर एक रेखा  खिचिए|]
हल :
रचना : बिंदु R से  होकर XY || ST खिंचा |
PQ || ST    …………..  (1)  दिया है |

XY || ST    ……………..(2) रचना से
समी० (1) तथा (2) से
PQ || XY   …………….. (3)
XY || ST   रचना से
∠RST + ∠SRY = 180°  (एक ही ओर के अंत:कोणों का योग )
⇒  130° + ∠SRY = 180°
⇒  ∠SRY = 180° – 130°
⇒  ∠SRY = 50°
PQ || XY   …………….. (3) से
∴ ∠PQR = ∠QRY    (एकांतर कोण)
110° =  ∠QRS + ∠SRY
110° =  ∠QRS + 50°
∠QRS = 110° – 50°
∠QRS = 60°

Ex 6.2 Class 9 गणित Q5  आकृति6.32 में, यदि  AB || CD, ∠ APQ = 50° और ∠ PRD = 127° है ,तो x और Y ज्ञात  कीजिए |

हल: ∠ APQ = 50° और ∠ PRD = 127°
AB || CD   दिया है |
∴  ∠APQ = ∠PQR      ( एकांतर कोण )
या  x = 50°
पुन: ∠APR  = ∠PRD     ( एकांतर कोण )
या y + 50° = 127°
या y = 127° – 50°
या y = 77°
x = 50° और y = 77°

Ex 6.2 Class 9 गणित Q6.आकृति 6.33  में ,PQ और RS दो है जो एक दूसरे के सामान्तर रखे गए है | या आपतन किरण (incident ray )AB,दर्पण PQ से B पर टकराती है और प्रवार्तित किरण (reflected ray ) पथ BC पर टकराती है तथा पुनः CDके अनुदिश प्रवार्तित हो जाती है | सिद्ध कीजिए कि  AB || CD है |

हल: 
दिया है: PQ || RS और AB एक आपतन कोण है, CD एक परावर्तित किरण है |
सिद्ध करना है : AB || CD
रचना :
BM ⊥ PQ और CN ⊥ RS खिंचा |

प्रमाण : 
BM ⊥ PQ and CN ⊥ RS
∴ BM || CM और BC एक तिर्यक रेखा है |
∴ ​∠2 = ∠ 3   ………… (1) (एकांतर अंत:कोण )
जबकि हम जानते है कि –
आपतन कोण = परावर्तन कोण, जहाँ BM और CN अभिलंब हैं |
∴ ​∠1 = ∠ 2   ………….. (2)
इसीप्रकार,
∴ ​∠3 = ∠ 4   ………….. (3)
समी० (1), (2) और (3) से हम पाते है |
∠1 = ∠ 4  ……………. (4)
समी० (1) तथा (4) को जोड़ने पर
∠1 + ∠2 = ∠ 3 + ∠ 4
∠ABC = ∠ BCD  (एकांतर अत: कोण)
इसलिए, AB || CD
Proved.

प्रश्नावली 6.3

Ex 6.3 Class 9 गणित Q1. आकृति 6.39 में, Δ PQR की भुजाओं QP और RQ को क्रमश: बिन्दुओं S और T तक बढाया गया है | यदि ∠SPR = 135° है और ∠ PQT = 110° है, तो ∠ PRQ ज्ञात कीजिए |

हल :
∠QPR + ∠SPR = 180° ( रैखिक युग्म )
⇒ ∠QPR + 135° = 180°
⇒ ∠QPR  = 180° – 135°
⇒ ∠QPR  = 45°
इसीप्रकार,
∠PQR + ∠TQP = 180° ( रैखिक युग्म )
⇒ ∠PQR + 110° = 180°
⇒ ∠PQR  = 180° – 110°
⇒ ∠PQR  = 70°
अब त्रिभुज PQR में,
∠QPR + ∠PQR + ∠PRQ = 180°
45° + 70° + ∠PRQ = 180°
115° + ∠PRQ = 180°
∠PRQ = 180° – 115°
∠PRQ = 65°

Ex 6.3 Class 9 गणित Q2. दी गई आकृति में, ∠X = 62° और ∠XYZ = 54° है। यदि YO और ∠O क्रमशः ∆XYZ के ∠XYZ और ∠XZY के समद्विभाजक हैं, तो ∠OZY और ∠YOZ ज्ञात कीजिए।

हल-
∆XYZ में,
∠X + ∠XYZ + ∠XZY = 180° (त्रिभुज के अन्त:कोणों का योग 180° होता है।)
62° + 54° + ∠XZY = 180°
∠XZY = 180° – (62° + 54°) = 180° – 116° = 64°
YO, ∠XYZ का और ∠O, ∠XZY का समद्विभाजक है।
∠OYZ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠XY∠ और ∠OZY = \(\frac { 1 }{ 2 }\) XZY
∠OYZ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 54° और ∠OZY = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 64०
∠OYZ = 27° और ∠OZY = 32°
तब ∆OYZ में,
∠OYZ + ∠OZY + ∠YOZ = 180° (त्रिभुज के सभी अन्त:कोणों का योग 180° होता है।)
27° + 32° + ∠YOZ = 180°
∠YOZ = 180° – (27° + 32°) = 180° – 59°
∠YOZ = 121°
∠OZY = 32° तथा ∠YOZ = 121°

Ex 6.3 Class 9 गणित Q3. दी गई आकृति में, यदि AB || DE, ∠BAC = 35° और ∠CDE = 53° है, तो ∠DCE ज्ञात कीजिए।

हल-
AB || DE और ऋजु रेखा AE इन्हें काटती है। तब,
∠BAE = ∠AED (एकान्तर कोण)
परन्तु ∠BAE = ∠BAC और ∠AED = ∠CED
∠BAC = ∠CED या 35° = ∠CED
∠CED = 35°
तब ΔCDE में,
∠CDE + ∠CED + ∠DCE = 180° (त्रिभुज के सभी अन्त:कोणों को योग 180° होता है)
53° + 35° + ∠DCE = 180°
∠DCE = 180° – (53° + 35°) = 180° – 88°= 92°
अतः ∠DCE = 92°

Ex 6.3 Class 9 गणित Q4. दी गई आकृति में, यदि रेखाएँ PQ और RS बिन्दु T पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती हैं कि ∠PRT = 40°, ∠RPT = 95° और ∠TSQ = 75° है, तो ∠SQT ज्ञात कीजिए।

हल-
ΔPRT में,
∠PRT + ∠RPT + ∠PTR = 180° (त्रिभुज के अन्त:कोणों का योग 180° होता है)
40° + 95° + ∠PTR = 180°
∠PTR = 180° – (95° + 40°) = 180° – 135°
∠PTR = 45°
ऋजु रेखाएँ P और RS परस्पर बिन्दु T पर प्रतिच्छेद करती हैं।
∠QTS = ∠PIR (शीर्षाभिमुख कोण)
∠QTS = 45° (∠PTR = 45°)
अब ΔQTS में,
∠QTS + ∠TSQ + ∠SQT = 180° [त्रिभुज के सभी अन्तः कोणों का योग 180° होता है।]
45° + 75° + ∠SQT = 180°
∠SQT = 180° – (45° + 75°) = 180° – 120° = 60°
∠SQT = 60°

Ex 6.3 Class 9 गणित Q5. दी गई आकृति में, यदि PQ ⊥ PS, PQ || SR, ∠SQR = 28° और ∠QRT = 65° है, तो x और y का मान ज्ञात कीजिए।

हल-
ΔQRS में,
∠SQR + ∠QSR = बहिष्कोण ∠QRT
28° + ∠QSR = 65°
∠∠QSR = 65° – 28° = 37°
अब :: PQ || SR और QS एक तिर्यक प्रतिच्छेदी रेखा है,
∠PQS = ∠QSR (एकान्तर कोण)
x = 37° (∠PQS = x, ∠QSR = 37°)
PQ ⊥ PS
∠P = 90°
ΔPQS में, ∠P + ∠PQS + ∠PSQ = 180° [त्रिभुज के तीनों अन्त:कोणों का योग 180° होता है।]
90° + x + y = 180°
⇒ x + y = 90°
⇒ 37° + y = 90°
⇒ y = 90° – 37°
⇒ y = 53°
अतः x = 37° तथा y = 53°

Ex 6.3 Class 9 गणित Q6. दी गई आकृति में, ΔPQR की भुजा QR को P बिन्दु S तक बढ़ाया गया है। यदि ∠PQR और ∠PRS के समद्विभाजक बिन्दु Tपर मिलते हैं,
तो सिद्ध कीजिए कि ∠QTR = \(\frac { 1 }{ 2 }\) QPR है।

हल-
ΔPQR में,
∠PQR + ∠PRQ + ∠QPR = 180° ……..(1)
तथा ΔTQR में,
∠TQR + ∠QRT + ∠QTR = 180° ……….(2)
समीकरण (1) व (2) से,
∠ TQR + ∠QRT + ∠QTR = ∠PQR + ∠PRQ + ∠QPR
∠TQR + (∠ PRQ + ∠PRT) + ∠QTR = ∠PQR + ∠PRQ + ∠QPR [∠QRT = ∠PRQ+ ∠PRT]
∠TQR + ∠ PRQ + ∠PRT + ∠QTR = ∠PQR + ∠PRQ + ∠QPR
∠TQR + ∠PRT + ∠QTR = ∠ PQR + ∠QPR …(3)
चूँकि QT, ∠PQR का समद्विभाजक है।
∠TQR = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠PQR या PQR = 2 ∠TQR ……….(4)
समीकरण (3) व समीकरण (4) से,
∠TQR + ∠PRT + ∠QTR = 2 ∠TQR + ∠QPR
∠ PRT + ∠QTR = ∠TQR + ∠QPR …….(5)
चूँकि RT, ∠ PRS का समद्विभाजक है।
∠PRT = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠PRS
और ∠PRS, ΔPQR का बहिष्कोण है।
∠PRS = ∠PQR + ∠QPR
∠PRS = 2 ∠TQR + ∠QPR ……(6)
∠PRT = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠PRS = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (2 ∠TQR + ∠QPR)
∠PRT = ∠TQR + \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠QPR
समीकरण (5) में से समीकरण (7) को घटाने पर,
∠QTR = ∠QPR – \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠QPR
∠QTR = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠QPR
इति सिद्धम.

Hope given NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 6 are helpful to complete your homework.

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 Area of ​​Parallelograms and Triangles (समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल) (Hindi Medium)

These Solutions are part of NCERT Solutions for Class 9 Maths in Hindi Medium. Here we have given NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 Area of Parallelograms and Triangles.

प्रश्नावली 9.1

Ex 9.1 Class 9 गणित Q1. निम्नलिखित आकृतियों में से कौन-सी आकृतियाँ एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं? ऐसी स्थिति में, उभयनिष्ठ आधार और दोनों समांतर रेखाएँ लिखिए।
(i)

हल : यह आकृति एक ही आधार CD और एक ही समान्तर रेखाओं AB || CD के मध्य स्थित है |
(ii)

हल : यह आकृति एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित नहीं हैं|
(iii)

हल : यह आकृति एक ही आधार QR और एक ही समान्तर रेखाओं PS || QR के मध्य स्थित है |
(iv)

हल : यह आकृति एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित नहीं हैं|
(v)

हल : यह आकृति एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित नहीं हैं|
(vi)

हल : यह आकृति एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित नहीं हैं|

प्रमेय :

प्रमेय 9.1 : सिद्ध कीजिए कि एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बिच स्थित समान्तर चतुर्भुज क्षेत्रफल में बराबर होते हैं |

दिया है : ||gm ABCD और ||gm EFCD
एक ही आधार CD और AB || CD के मध्य स्थित है |
सिद्ध करना है : 
ar(ABCD) = ar(EFCD)
उपपति :
ΔADE तथा ΔBCF में
AD = BC ( ||gm के सम्मुख भुजा बराबर होते हैं)
​∠DAE = ∠CBF (संगत कोण)
∠AED = ∠BFC (संगत कोण)
ASA सर्वांगसमता नियम से
ΔADE ≅ ΔBCF
अत: ar(ADE) = ar(BCF) …….. (i)
(सर्वांगसम त्रिभुज क्षेत्रफल में बराबर होते हैं )
अब, दोनों तरफ ar(EBCD) जोड़ने पर
ar(ADE) + ar(EBCD) = ar(BCF) + ar(EBCD)
​ar(ABCD) = ar(EFCD)
Proved.

प्रश्नावली 9.2

हल : 

दिया है : E, F, G और H क्रमश: समांतर चतुर्भुज
ABCD कि भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं |

Ex 9.2 Class 9 गणित Q3. P और Q क्रमश: समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं DC और AD पर स्थित बिंदु है | दर्शाइए ar (APB) = ar (BQC) है |
हल :

दिया है : P और Q क्रमश: समांतर चतुर्भुज ABCD
की भुजाओं DC और AD पर स्थित बिंदु है |
सिद्ध करना है :
ar(APB) = ar(BQC)
प्रमाण :

ΔAPB तथा ||gm ABCD एक ही आधार AB तथा AB || CD के मध्य स्थित है |

Ex 9.2 Class 9 गणित Q4. P समांतर चतुर्भुज ABCD के अभ्यंतर में स्थिति कोई बिंदु है | दर्शाइए कि 

हल :

दिया है : ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जिसके अभ्यंतर P कोई बिंदु है |
सिद्ध करना है : 


रचना : P बिंदु से होकर AB के समांतर GH खिंचा और AD के समान्तर EF खिंचा |
प्रमाण :
AB || GH रचना से और AB = GH है इसलिए ABHG एक समांतर चतुर्भुज है |

इसी प्रकार DCHG भी एक समांतर चतुर्भुज है |
अब
ΔAPB तथा ||gm ABHG एक ही आधार AB तथा AB || GH के मध्य स्थित है |

Ex 9.2 Class 9 गणित Q5. PQRS और ABRS समांतर चतुर्भुज है तथा X भुजा BR पर स्थित कोई बिंदु है | दर्शाइए कि : 

हल :
दिया है : PQRS और ABRS समांतर चतुर्भुज है तथा X भुजा BR पर स्थित कोई बिंदु है |
सिद्ध करना है : 

प्रमाण :
||gm PQRS तथा ||gm ABRS एक ही आधार SR तथा SR|| PB के मध्य स्थित हैं |
इसलिए प्रमेय 9.1 से

ar(PQRS) = ar(ABRS) ……. (i) Proved
अब, ΔAXS तथा ||gm ABRS एक ही आधार AS तथा AS || BR के मध्य स्थित है |

Ex 9.2 Class 9 गणित Q6. एक किसान के पास समांतर चतुर्भुज (PQRS) के रूप का एक खेत था। उसने RS पर स्थित कोई बिन्दु A लिया और उसे P और Q से मिला दिया। खेत कितने भागों में विभाजित हो गया है? इन भागों के आकार क्या हैं? वह किसान खेत में गेहूँ और दालें बराबर-बराबर भागों में अलग-अलग बोना चाहती है। वह ऐसा कैसे करे?

प्रश्नावली 9.3

Ex 9.3 Class 9 गणित Q1. ΔABC की एक मध्यिका AD पर स्थित E कोई बिंदु है | दर्शाइए कि ar(ABE) = ar(ACE) है |
हल :

दिया है : ΔABC की एक मध्यिका AD पर स्थित E कोई बिंदु है |
सिद्ध करना है : ar(ABE) = ar(ACE)
रचना : B तथा C E को मिलाया |
प्रमाण : ΔABC में,
AD ΔABC कि एक माध्यिका है |
इसलिए ar(ABD) = ar(ACD) ……… (i)
(त्रिभुज कि माध्यिका उसे दो बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में बाँटता है )
अब,  ΔBEC में,
ED भी ΔBEC कि एक माध्यिका है |
इसलिए ar(BED) = ar(CED) ……. (ii)
समीकरण (i) में से (ii) घटाने पर
ar(ABD) – ar(BED) = ar(ACD) – ar(CED)
या ar(ABE) = ar(ACE)
Proved.

Ex 9.3 Class 9 गणित Q3. दर्शाइए कि समांतर चतुर्भुज के दोनों विकर्ण उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले चार त्रिभुजों में बाँटते हैं।
हल :

दिया है : ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जिसके दो विकर्ण AC तथा BD हैं | जो एक दुसरे को बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते है |​
सिद्ध करना है :
ar(AOB) = ar(BOC) = ar(COD) = ar(AOD)
प्रमाण : 
ΔABC की भुजा AC का O मध्य-बिंदु है |
इसलिए OB एक माध्यिका है |
अत: ar(AOB) = ar(BOC)  ……. (i)
(त्रिभुज कि माध्यिका उसे दो बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में बाँटता है )
इसीप्रकार, ΔACD की भुजा AC का O मध्य-बिंदु है |
इसलिए OD एक माध्यिका है |
अत: ar(AOD) = ar(COD)  ……. (ii)
अब और ΔBCD में
भुजा BD की मध्य-बिंदु O है अत: OC एक माध्यिका है |
अत : ar(BOC) = ar(COD) ……. (iii)
समीकरण (i), (ii) तथा (iii) से हमें प्राप्त होता है |
ar(AOB) = ar(BOC) = ar(COD) = ar(AOD)
Proved.

Ex 9.3 Class 9 गणित Q4. ABC और ABD एक ही आधार AB पर बने दो त्रिभुज हैं | यदि रेखाखंड CD रेखाखंड AB से बिंदु O पर समद्विभाजित होता है, तो दर्शाइए कि ar(ABC) = ar(ABD)
हल :
दिया है : ABC और ABD एक ही आधार AB पर बने दो त्रिभुज हैं और रेखाखंड CD रेखाखंड AB से बिंदु O पर समद्विभाजित होता है |
सिद्ध करना है : ar(ABC) = ar(ABD)
प्रमाण : DACD में भुजा CD को AB समद्विभाजित करता है जिसका मध्य-बिंदु O है |
अत: AO त्रिभुज कि एक माध्यिका है |
इसलिए  ar(AOC) = ar(AOD) …… (i)
(त्रिभुज कि माध्यिका उसे दो बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में बाँटता है )
इसीप्रकार, DBCD में OB एक माध्यिका है |
अत:ar(BOC) = ar(BOD) ………. (ii)
समी० (i) तथा (ii) जोड़ने पर
ar(AOC) + ar(BOC) = ar(AOD) + ar(BOD)
या ar(ABC) = ar(ABD)
Proved.
या   FE || BC तथा FE = BD   [ चूँकि D BC का मध्य-बिंदु है ]
अत: BDEF एक समांतर चतुर्भुज है |
Proved (i)
(यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख भुजाओं के एक युग्म बराबर और समांतर हो तो वह समांतर चतुर्भुज होता है |)

(ii) DF समांतर चतुर्भुज BDEF का विकर्ण है इसलिए
ar(BDF) = ar(DEF) …. (i)
इसीप्रकार, DCEF भी समान्तर चतुर्भुज है और DE इसका विकर्ण है |
ar(CED) = ar(DEF) …. (ii)
और AEDF भी समान्तर चतुर्भुज है और FE इसका विकर्ण है |
तो   ar(AEF) = ar(DEF) …. (iii)
समीकरण (i), (ii) और (iii) से
ar(AEF) = ar(BDF) = ar(DEF) = ar(CED) ….. (vi)
अब ar(AEF) + ar(BDF) + ar(DEF) + ar(CED) = ar(ABC)
या  ar(DEF) + ar(DEF) + ar(DEF) + ar(DEF) = ar(ABC) समी० (vi)
या 4 ar(DEF) = ar(ABC)
(iii) ar(BDF) + ar(DEF) + ar(AEF) + ar(CED) = ar(ABC)
या ar(BDF) + ar(DEF) + ar(BDF) + ar(DEF) = ar(ABC)
या ar(BDEF) + ar(BDEF) = ar(ABC)
या 2 ar(BDEF) = ar(ABC)

Ex 9.3 Class 9 गणित Q6. चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि OB = OD है | यदि AB = CD है, तो दर्शाइए कि
(i) ar (DOC) = ar (AOB)
(ii) ar (DCB) = ar (ACB)
(iii) DA || CB या ABCD एक समांतर चतुर्भुज है |
हल :

दिया है : चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि OB = OD है | यदि AB = CD है |
सिद्ध करना है :
(i) ar (DOC) = ar (AOB)
(ii) ar (DCB) = ar (ACB)
(iii) DA || CB या ABCD एक समांतर चतुर्भुज है |
प्रमाण :  ΔDOC तथा ΔAOB में
CD = AB  (दिया है)
OD = OB  (दिया है)
∠COD = ∠AOB  (शीर्षाभिमुख कोण)
इसलिए, SAS सर्वांगसमता नियम से
ΔDOC ≅ ΔAOB
∠DCO = ∠BAO  …… (i) BY CPCT
चूँकि ΔDOC ≅ ΔAOB इसलिए
ar (DOC) = ar (AOB)   ….(ii) Proved
(सर्वांगसम त्रिभुज क्षेत्रफल में बराबर होते है )
समी० (ii) दोनों तरफ ar(BOC) जोड़ने पर
ar (DOC) + ar(BOC) = ar (AOB) + ar(BOC)
या ar(DCB) = ar (ACB)
Proved.
समी० (i) से
∠DCO = ∠BAO  …… (एकांतर कोण)
इसलिए,  CD || AB और CD = AB दिया है |
अत: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है |
(सम्मुख भुजाओं के एक युग्म बराबर और समांतर हो तो वह समांतर चतुर्भुज होता है)
इसलिए DA || CB या ABCD एक समांतर चतुर्भुज है |
Proved.

Ex 9.3 Class 9 गणित Q7. बिंदु D और E क्रमश: DABC कि भुजाओं AB और AC पर इस प्रकार स्थित हैं कि ar(DBC) = ar(EBC) है | दर्शाइए कि DE || BC है |
हल :
दिया है : बिंदु D और E क्रमश: DABC कि भुजाओं AB और AC पर इस प्रकार स्थित हैं कि ar(DBC) = ar(EBC) है |

सिद्ध करना है :
DE || BC
प्रमाण :
ΔDBC और ΔEBC एक ही आधार BC और क्षेत्रफल में बराबर है क्योंकि
ar(DBC) = ar(EBC) दिया है |
अत: प्रमेय 9.3 से
DE || BC
Proved.

Ex 9.3 Class 9 गणित Q8. XY त्रिभुज ABC की भुजा BC के समांतर एक रेखा है | यदि BE || AC और CF || AB रेखा XY से क्रमश: E और F पर मिलती है, तो दर्शाइए कि:
ar(ABE) = ar(ACF)
हल : 

दिया है : XY त्रिभुज ABC की भुजा BC के समांतर एक रेखा है| यदि BE || AC और CF || AB रेखा XY से क्रमश : E और F पर मिलती है|
सिद्ध करना है :
ar(ABE) = ar(ACF)
रचना : E तथा F को A से मिलाया |
प्रमाण : BC || XY और BE || AC दिया है, इसलिए BCYE एक समांतर चतुर्भुज है |
इसीप्रकार BC || XY और CE || AB दिया है अत: BCFX भी समांतर चतुर्भुज है |
अब समांतर चतुर्भुज BCYE तथा BCFX एक ही आधार BC और BC||XY के मध्य-स्थित है |
इसलिए प्रमेय 9.1 से
ar(BCYE) = ar(BCFX)  ………… (1)
(एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के मध्य स्थित समान्तर चतुर्भुज क्षेत्रफल में बराबर होते है |)
ΔABE और ||gm BCYE एक ही आधार BE और BE || AC के मध्य-स्थित है |

Ex 9.3 Class 9 गणित Q9. समान्तर चतुर्भुज ABCD की एक भुजा AB को एक बिंदु P तक बढाया गया है | A से होकर CP के समांतर खिंची गई रेखा बढाई गई CB को Q पर मिलती है और फिर समांतर चतुर्भुज PBQR को पूरा किया गया है | दर्शाइए कि ar(ABCD) = ar(PBQR) है |
[संकेत: AC और PQ को मिलाइए | अब ar(ACQ) और ar(APQ) कि तुलना कीजिये |]
हल : 

दिया है : ABCD तथा PBQR समांतर चतुर्भुज है |
जहाँ AQ || CP है |
सिद्ध करना है : ar(ABCD) = ar(PBQR)

प्रमाण : ||gm ABCD का AC एक विकर्ण है |
ΔACQ तथा ΔAPQ एक ही आधार AQ तथा CP || AQ के मध्य स्थित है |
अत: ar(ACQ) = ar(APQ) ………. (3)
(एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं मध्य स्थित त्रिभुज क्षेत्रफल में बराबर होते हैं |)
समीकरण (3) में दोनों तरफ ar(ABQ) घटाने पर
ar(ACQ) – ar(ABQ) = ar(APQ) – ar(ABQ)
या ar(ABC) = ar(PBQ)

Ex 9.3 Class 9 गणित Q10. एक समलंब ABCD, जिसमें AB || DC हैं, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं | दर्शाइए कि ar(AOD) = ar(BOC) है |
हल :

दिया है : एक समलंब ABCD, जिसमें AB || DC हैं, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं |
सिद्ध करना है : ar(AOD) = ar(BOC)
प्रमाण : ΔACD तथा ΔBCD एक ही आधार DC तथा AB || DC
के बीच स्थित है | अत:
ar(ACD) = ar(BCD) ……… (1)
(एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं मध्य स्थित त्रिभुज क्षेत्रफल में बराबर होते हैं |)
दोनों तरफ ar(COD) घटाने पर
ar(ACD) – ar(COD) = ar(BCD) – ar(COD)
या ar(AOD) = ar(BOC)
Proved.

Ex 9.3 Class 9 गणित Q11. ABCDE एक पंचभुज है| B से होकर AC के समांतर खिंची गई रेखा बढाई गई DC को F पर मिलती है | दर्शाइए कि
(i) ar(ACB) = ar(ACF)
(ii) ar(AEDF) = ar(ABCDE)
हल :

दिया है : ABCDE एक पंचभुज है| B से होकर AC के समांतर खिंची गई रेखा बढाई गई DC को F पर मिलती है |
सिद्ध करना है :
(i) ar(ACB) = ar(ACF)
(ii) ar(AEDF) = ar(ABCDE)
प्रमाण : AC || BF दिया है |
ΔACB और ΔACF एक ही आधार AC तथा AC || BF के बीच स्थित है |
अत: ar(ACB) = ar(ACF) …….. (1)
Proved.
(एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं मध्य स्थित त्रिभुज क्षेत्रफल में बराबर होते हैं |)
अब दोनों तरफ ar(ACDE) जोड़ने पर
ar(ACB) + ar(ACDE) = ar(ACF) + ar(ACDE)
या  ar(ABCDE) = ar(AEDF)
या ar(AEDF) = ar(ABCDE)
Proved.

Ex 9.3 Class 9 गणित Q12. गाँव के एक निवासी इतवारी के पास एक चतुर्भुजाकार भूखंड था। उस गाँव की ग्राम पंचायत ने उसके भूखंड के एक कोने से उसका कुछ भाग लेने का निर्णय लिया ताकि वहाँ एक स्वास्थ्य केन्द्र का निर्माण कराया जा सके। इतवारी इस प्रस्ताव को इस प्रतिबन्ध् के साथस्वीकार कर लेता है कि उसे इस भाग के  बदले उसी भूखंड के संलग्न एक भाग ऐसा दे दिया जाए कि उसका भूखंड त्रिभुजाकार हो जाए। स्पष्ट कीजिए कि इस प्रस्ताव को किस प्रकार कार्यान्वित किया जा सकता है।
हल : 

दिया है : ABCD एक चतुर्भुज है | ar(BEC) स्वास्थ्य केंद्र के लिए भूखंड है |
सिद्ध करना है :
ar(ABCD) = ar(PCD)
रचना : A को C से मिलाया और AB के बढ़े हुए भाग P बिंदु से AC || PB खिंचा |
प्रमाण : ΔACP तथा ΔACB एक ही आधार AC तथा AC || PB के बीच स्थित है |
अत: ar(ACP) = ar(ACB) …….. (1)
(एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं मध्य स्थित त्रिभुज क्षेत्रफल में बराबर होते हैं |)
ar(AEC) दोनों तरफ घटाने पर
ar(ACP) – ar(AEC) = ar(ACB) – ar(AEC)
या ar(AEP) = ar(BEC) ……. (2)
अत: ar(BEC) स्वास्थ्य केंद्र है और ar(AEP) के बदले मिला भूखंड है |
अब समीकरण (2) में दोनों तरफ ar(AECD) जोड़ने पर
ar(BEC) + ar(AECD) = ar(AEP) + ar(AECD)
या ar(ABCD) = ar(PCD)
Proved.

Ex 9.3 Class 9 गणित Q13. ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC है और AC के समांतर एक रेखा AB को X पर और BC को Y पर प्रतिच्छेद करती है | सिद्ध कीजिए कि
ar (ADX) = ar (ACY) है |
[ संकेत : CX को मिलाइए ]
हल :

दिया है : ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC है और AC के समांतर एक रेखा AB को X पर और BC को Y पर प्रतिच्छेद करती है |
सिद्ध करना है : ar (ADX) = ar (ACY)
रचना : CX और AY को मिलाया |
प्रमाण :
ΔADX तथा ΔACX एक ही आधार AX और AB || DC के मध्य स्थित है |
अत: ar(ADX) = ar(ACX) ………. (1)
(एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं मध्य स्थित त्रिभुज क्षेत्रफल में बराबर होते हैं |)
अब ΔACY तथा ΔACX एक ही आधार AC तथा AC || XY के बीच स्थित है |
अत: ar(ACY) = ar(ACX) ……….. (2)
समीकरण (1) तथा (2) से हमें प्राप्त होता है |
ar (ADX) = ar (ACY)
Proved.

Ex 9.3 Class 9 गणित Q14. दी गई आकृति में, AP || BQ || CR है | सिद्ध कीजिए कि
ar(AQC) = ar(PBR) है |
हल :

दिया है : दी गई आकृति में, AP || BQ || CR है |
सिद्ध करना है : ar(AQC) = ar(PBR)
प्रमाण : AP || BQ दिया है | अत: ΔABQ तथा ΔPQB एक ही आधार BQ
तथा AP || BQ के मध्य स्थित है |
∴ ar(ABQ) = ar(PQB) …….. (1)
(एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं मध्य स्थित त्रिभुज क्षेत्रफल में बराबर होते हैं |)
इसीप्रकार, BQ || CR दिया है और ΔBQC तथा ΔBQR एक ही आधार BQ तथा BQ || CR के बीच स्थित है |
∴ ar(BQC) = ar(BQR) …….. (2)
समीकरण (1) तथा (2) जोड़ने पर
ar(ABQ) + ar(BQC) = ar(PQB) + ar(BQR)
या ar(AQC) = ar(PBR)
Proved.

Ex 9.3 Class 9 गणित Q15. चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि ar (AOD) = ar (BOC) है | सिद्ध कीजिए कि ABCD एक समलंब है |
हल :

दिया है : चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD
परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं
कि ar (AOD) = ar (BOC) है |
सिद्ध करना है :
ABCD एक समलंब है |
प्रमाण :  ar (AOD) = ar (BOC) …….. (1)  (दिया है)
समीकरण (1) में दोनों तरफ ar(COD) जोड़ने पर
ar (AOD) + ar(COD) = ar (BOC) + ar(COD)
या ar(ACD) = ar(BCD)
अब ΔACD तथा ΔBCD एक ही आधार CD और ar(ACD) = ar(BCD) है |
अत: प्रमेय 9.3 से ये दोनों त्रिभुज अवश्य ही एक ही समांतर रेखाओं के मध्य स्थित है |
इसलिए AB || DC है |
चतुर्भुज ABCD में AB || DC है अत: ABCD एक समलंब है |
Proved.

Ex 9.3 Class 9 गणित Q16. दी गई आकृति में, ar(DRC) = ar(DPC) है और ar(BDP) = ar(ARC) है | दर्शाइए कि दोनों चतुर्भुज ABCD और DCPR समलंब है |
हल :

दिया है : ar(DRC) = ar(DPC) है और
ar(BDP) = ar(ARC) है |
सिद्ध करना है : चतुर्भुज ABCD और DCPR समलंब है |
प्रमाण :
ar(ARC) = ar(BDP) ……… (1) (दिया है)
और ar(DRC) = ar(DPC) …… (2) (दिया है)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) घटाने पर
ar(ARC) – ar(DRC) = ar(BDP) – ar(DPC)
या ar(ADC) = ar(BCD) ……. (3)
अब ΔADC और ΔBCD एक ही आधार DC और क्षेत्रफल में बराबर हैं समी० (3) से अत: प्रमेय 9.3 से
(एक ही आधार और क्षेत्रफल में बराबर त्रिभुज एक ही समांतर रेखाओं के मध्य-स्थित होते हैं|)
इसलिए, AB || CD है अत: ABCD एक समलंब है |
अब ΔDRC और ΔDPC एक ही आधार DC और समी० (2) से क्षेत्रफल में बराबर हैं | अत: प्रमेय 9.3 से
DC || RP है इसलिए DCPR एक समलंब है |
अत: चतुर्भुज ABCD और DCPR समलंब है|
Proved.

प्रश्नावली 9.4 (ऐच्छिक)

Ex 9. Class 9 गणित Q1. समान्तर चतुर्भुज ABCD और आयत ABEF एक ही आधार पर स्थित हैं और उनके क्षेत्रफल बराबर हैं। दर्शाइए कि समान्तर चतुर्भुज का परिमाप आयत के परिमाप से अधिक है।

हल-
दिया है : समान्तर चतुर्भुज ABCD का आधार AB तथा इसी आधार AB पर ही समान क्षेत्रफल को आयते ABEF स्थित है।
सिद्ध करना है : समान्तर चतुर्भुज ABCD का परिमाप > आयत ABEF का परिमाप
उपपत्ति: ∆ADF में,
∠F = 90° (आयत का अन्त:कोण)
AF ⊥ EF
AF < AD (AD कर्ण है) …(1)
इसी प्रकार ∆BCE में,
∠E = 90° (आयत का बहिष्कोण = 90°)
BE ⊥ CD
BE < BC ….(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर
(AF + BE) < (AD + BC)
AB = EF (ABDF आयत है।)
और AB = DC (ABCD समान्तर चतुर्भुज है।)
दोनों ओर क्रमशः (AB + EF) और (AB + CD) जोड़ने पर,
AB + BE + EF + AF < AB + BC + CD + DA अतः समान्तर चतुर्भुज का परिमाप> आयत का परिमाप
इति सिद्धम.

Ex 9.4 Class 9 गणित Q2. दी गई आकृति में, भुजा BC पर दो बिन्दु D और E इस प्रकार स्थित हैं कि BD = DE = EC है। दर्शाइए। कि ar (ABD) = ar (ADE) = ar (AEC) है।
क्या आप अब उस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं, जो आपने इस अध्याय की ‘भूमिका’ में छोड़ दिया था कि “क्या बुधिया का खेत वास्तव में बराबर क्षेत्रफलों B वाले तीन भागों में विभाजित हो गया है?”
[टिप्पणीः ध्यान दीजिए कि BD = DE = EC लेने से ∆ABC तीन त्रिभुजों ABD, ADE और AEC में विभाजित हो जाता है जिनके क्षेत्रफल बराबर हैं। इसी प्रकार, BC को n बराबर भागों में विभाजित करके और इस भुजा को विभाजित करने वाले बिन्दुओं को सम्मुख शीर्ष A से मिला कर आप इस त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफलों वाले n त्रिभुजों में विभाजित कर सकते हैं।]

हल-
दिया है : भुजा BC पर D और E दो बिन्दु इस प्रकार स्थित हैं कि BD = DE = EC है।
सिद्ध करना है : ar (∆ABD) = ar (∆ADE) = ar (∆AEC)
रचना : शीर्ष से BC पर शीर्षलम्ब AP खींचा। उपपत्ति: दिया है, BD = DE = EC
तीनों त्रिभुजों के आधार समान हैं। यह भी स्पष्ट है कि तीनों त्रिभुजों की एक ही ऊँचाई AP है। तब तीनों त्रिभुजों के क्षेत्रफल भी समान होंगे।
अतः ar (∆ABD) = ar (∆ADE) = ar (∆AEC)
किसी त्रिभुज के आधार को n समान भागों में विभक्त कर सम्मुख शीर्ष से मिलाने पर त्रिभुज समान n भागों में विभक्त हो जाता है।

Ex 9.4 Class 9 गणित Q3. दी गई आकृति में, ABCD, DCFE और ABFE समान्तर चतुर्भुज हैं। दर्शाइए कि
ar (ADE) = ar(BCF) है।

हल-
दिया है : दी गई आकृति में चतुर्भुज ABCD, चतुर्भुज DCFE और चतुर्भुज ABFE समान्तर चतुर्भुज हैं।
सिद्ध करना है : ar (∆ADE) = ar (∆BCF)
उपपत्ति : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
AD = BC
DCFE एक समान्तर चतुर्भुज है।
DE = CF
ABFE, एक समान्तर चतुर्भुज है।
AE = BF
अब ∆ADE तथा ∆BCF में,
AD = BC
DE = CF (अभी सिद्ध किया है)
AE = BF
∆ADE = ∆BCF (भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता से)
ar (∆ADE) = ar (∆BCF)

Ex 9.4 Class 9 गणित Q4. दी गई आकृति में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। BC को बिन्दु ९ तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि AD = CQ है। यदि AQ भुजा DC को P पर प्रतिच्छेद करती है तो दर्शाइए कि ar (BPC) = ar (DPQ) है। [संकेतः AC को मिलाइए।]

Ex 9.4 Class 9 गणित Q5. दी गई आकृति में, ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC का मध्य-बिन्दु है। यदि AE भुजा BC को F पर प्रतिच्छेद करती है तो दर्शाइए कि
(i) ar(∆BDE) = \(\frac { 1 }{ 4 }\) ar(∆ABC)
(ii) ar(∆BDE) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar(∆BAE)
(iii) ar(∆ABC) = 2 ar(∆BEC)
(iv) ar(∆BFE) = ar(∆AFD)
(v) ar(∆BFE) = 2 ar(∆FED)
(vi) ar(∆FED) = \(\frac { 1 }{ 8 }\) ar(∆AFC)
[संकेतः EC और AD को मिलाइए। दर्शाइए कि BE || AC और DE || AB है, इत्यादि।]

हल-
दिया है : दी गई आकृति में ∆ABC और ∆BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC को मध्य-बिन्दु है। रेखाखण्ड AE खींचा गया है जो BC को F पर प्रतिच्छेद करता है।

Ex 9.4 Class 9 गणित Q6. चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करते हैं।दर्शाइए कि
ar (APB) x ar (CPD) = ar (APD) x ar (BPC) है।
[संकेतः A और C से BD पर लम्ब खींचिए।]

Ex 9.4 Class 9 गणित Q7. P और Q क्रमशः त्रिभुज ABC की भुजाओं AB और BC के मध्य-बिन्दु हैं तथा R रेखाखण्ड AP का मध्य-बिन्दु है। दर्शाइए कि :
(i) ar (∆PRQ) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (∆ARC)
(ii) ar (∆RQC) = \(\frac { 3 }{ 8 }\) ar (∆ABC)
(iii) ar (∆PBQ) = ar (∆ARC)

हल-
दिया है: ∆ABCमें भुजा AB का मध्य-बिन्दु Pऔर भुजा BC का मध्य-बिन्दु Q है।
बिन्दु R, रेखाखण्ड AP का मध्य-बिन्दु है।
सिद्ध करना है :
(i) ar (PRQ) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ARC)

Ex 9.4 Class 9 गणित Q8. दी गई आकृति में, ABC एक समकोण त्रिभुज है।
जिसका कोण A समकोण है। BCED, ACFG और ABMN क्रमशः भुजाओं BC, CA और AB पर बने वर्ग हैं। रेखाखण्ड AX ⊥ DE भुजा BC को बिन्दु Y पर मिलता है। दर्शाइए कि :
(i) ∆MBC = ∆ABD
(ii) ar (BYXD) = 2 ar (MBC)
(iii) ar (BYXD) = ar (ABMN)
(iv) ∆FCB = ∆ACE
(v) ar (CYXE) = 2 ar (FCB)
(vi) ar (CYXE) = ar (ACFG)
(vii) ar (BCED) = ar (ABMN) + ar (ACFG)
[टिप्पणीः परिणाम (vii) प्रसिद्ध (सुपरिचित) पाइथागोरस प्रमेय है। इस प्रमेय की एक सरलतम उपपत्ति आप कक्षा X में पढ़ेंगे]

हल-
दिया है : ∆ABC में ∠A समकोण है। त्रिभुज की भुजाओं AB, AC तथा BC पर क्रमशः ABMN, ACFG और BCED वर्ग बने हैं। रेखोखण्ड AXवर्ग BCED की भुजा DE पर लम्ब है, जो BC से Y पर मिलता है।
सिद्ध करना है :
((i) ∆MBC = ∆ABD
(ii) ar (BYXD) = 2 ar (MBC)
(iii) ar (BYXD) = ar (ABMN)
(iv) ∆FCB = ∆ACE
(v) ar (CYXE) = 2 ar (FCB)
(vi) ar (CYXE) = ar (ACFG)
(vii) ar (BCED) = ar (ABMN) + ar (ACFG)
उपपत्ति:
(i) ABMN एक वर्ग है।
∆MBC ,
∠MBC = 90° + ∠B
इसी प्रकार ∆ABD में,
∠ABD = 90° + ∠B
∆MBC और ∆ABD में,
∠MBC = ∠ABD

Hope given NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 are helpful to complete your homework.