NCERT Solutions For Class 10 Maths PDF Hindi Medium

प्रायिकता 15.1

Ex 15.1 Class 10 गणित Q1. निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिए :

(i) घटना E की प्रायिकता + घटना ‘E नहीं’ की प्रायिकता = …………है |

(ii) उस घटना कि प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती ………है | ऐसी घटना ………कहलाती है |

(iii) उस घटना कि प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है ………है | ऐसी घटना ………कहलाती है |

(iv) किसी प्रयोग कि सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग……..है |

(v) किसी घटना की प्रायिकता……..से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा………से छोटी या उसके बराबर होती है |

उत्तर :

(i) घटना E की प्रायिकता + घटना ‘E नहीं’ की प्रायिकता = 1 है |

(ii) उस घटना कि प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती 0  है | ऐसी घटना  असंभव घटना कहलाती है |

(iii) उस घटना कि प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है  1  है | ऐसी घटना   निश्चित घटना कहलाती है |

(iv) किसी प्रयोग कि सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग  1  है |

(v) किसी घटना की प्रायिकता  0  से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा  1  से छोटी या उसके बराबर होती है |

Ex 15.1 Class 10 गणित Q2. निम्नलिखित प्रयोगों में से किन-किन प्रयोगों के परिणाम समप्रायिक हैं ? स्पष्ट कीजिए |

(i) एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है | कार चलना प्रारंभ हो जाती है या कार चलना प्रारंभ नहीं होती है |

उत्तर : समप्रायिक है |

(ii) एक खिलाड़ी बास्केटबौल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है | वह बास्केट में बौल डाल पाती है या नहीं डाल पाती है |

उत्तर : समप्रायिक है |

(iii)   एक सत्य – असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है | उत्तर सही है या गलत होगा |

उत्तर : समप्रायिक है |

(iv) एक बच्चे का जन्म होता है | वह एक लड़का है या एक लड़की है |

उत्तर : समप्रायिक है |

Ex 15.1 Class 10 गणित Q3. फुटबौल के खेल को प्रांरभ करते समय यह निर्णय लेने के लिए कि कौन सी टीम पहले बौल लेगी, इसके लिए सिक्का उछलना एक न्यायसंगत विधि क्योँ माना जाता है ?

उत्तर : क्योंकि सिक्का उछालना एक समप्रायिक घटना है |

Ex 15.1 Class 10 गणित Q4. निम्नलिखित में से कौन सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती ?

(A) 2/3 

(B) -1.5

(C) 15%

(D) 0.7 

उत्तर : (B) -1.5  [क्योंकि किसी भी प्रायिकता की सीमा 0 से 1 के बीच होती है|]

Ex 15.1 Class 10 गणित Q5. यदि P(E) = 0.05 है, तो ‘E नहीं’ कि प्रायिकता क्या है ?

हल : दिया है (E) = 0.05

हम जानते हैं कि P(E) + P(E) नहीं = 1

=> 0.05 + P(E) नहीं = 1

=> P(E) नहीं = 1 – 0.05

=> P(E) नहीं = 0.95 उत्तर

Ex 15.1 Class 10 गणित Q6. एक थैले में केवल नींबू कि महक वाली मीठी गोलियाँ हैं | मालिनी बिना थैले में झाँके उसमें से एक गोली निकालती है | इसकी क्या प्रायिकता है कि वह निकाली गई गोली

(i) संतरे कि महक वाली है ?

(ii) नींबू कि महक वाली है ?

हल : माना थैले में कुल गोलियों की संख्या = n

(i) संतरे कि महक वाली है ?

संतरे की महक वाली गोलियों की संख्या = 0

संतरे की महक वाली गोली निकलने की प्रायिकता

Ex 15.1 Class 10 गणित Q7. यह दिया हुआ है कि 3 विधार्थियों के एक समूह में से 2 विधार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने कि प्रायिकता 0.9992 है | इसकी क्या प्रायिकता है कि इन 2 विधार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन हो ?
हलः माना 2 विद्यार्थियों का एक ही दिन जन्मदिन होने की घटना E है।
माना 2 विद्यार्थियों का एक ही दिन जन्मदिन नहीं होने की घटना E है।
चूंकि P(E) + P(E नही) = 1.
परन्तु
P(E नही) = 0.992
P(E नही) + 0.992 = 1
P(E नही) = 1 – 0.992 = 0.008
अत: 2 विद्यार्थियों का एक ही दिन जन्मदिन होने की घटना की प्रायिकता 0.008 है।

Ex 15.1 Class 10 गणित Q8. एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं | इस थैले में से एक गेंद यदृच्छया निकाली जाती है| इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद

(i) लाल हो

(ii) लाल नहीं हो ?
हलः थैले में गेंदों की कुल संख्या = 3 + 5 = 8
थैले में से एक गेंद निकालने की घटना के सभी संभव परिणामों की संख्या = 8

Ex 15.1 Class 10 गणित Q9. एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं | इस डिब्बे में से एक कंचा 

(i) लाल है ?

(ii) सफेद है ?

(iii) हरा नहीं है ?
हलः डिब्बे में कंचों की संख्या = 5 लाल कंचे + 8 सफेद कंचे + 4 हरे कंचे = 17 कंचे।
डिब्बे में से एक कंचा निकालने की घटना के सम्भव परिणामों की संख्या = 17
(i) लाल गेंदों की संख्या = 5
डिब्बे में से निकाली गई गेंद का लाल होने की घटना के परिणामों की संख्या = 5
अनुकूल परिणामों की संख्या = 5
अनुकूल परिणामों की संख्या = 5

(ii) सफेद गेंदों की संख्या = 8
डिब्बे में से सफेद गेंद निकाली जाने की घटना के परिणामों की संख्या = 8
अनुकूल परिणामों की संख्या = 8

Ex 15.1 Class 10 गणित Q10. एक पिग्गी बैंक (piggy bank) में, 50 पैसे के सौ सिक्के है, 1 रू के पचास सिक्के हैं, 2 रू के बीस सिक्के गिरने के परिणाम समप्रायिक हैं, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गिरा हुआ सिक्का

(i) 50 पैसे का होगा ?

(ii) 5 रू का नहीं होगा ?
हलः पिग्गी-बैंक में कुल सिक्कों की संख्या = 50 पैसे के सिक्के + 1 के सिक्के + 2र के सिक्के + 5 के सिक्के
= 100 + 50 + 20 + 10 = 180
पिग्गी बैंक से सिक्का निकलने की घटना के परिणामों की संख्या = 180
(i) 50 पै. के सिक्कों की संख्या = 100
पिग्गी बैंक से 50 पैसे का सिक्का गिरने की घटना की संख्या = 100

Ex 15.1 Class 10 गणित Q11. गोपी अपने जल – जीव कुंड (aquarium) के लिए एक दुकान से मछली खरीदती है | दुकानदार एक टंकी, जिसमें 5 नर मछली और 8 मादा मछली है, में से एक मछली यादृच्छया उसे देने के लिए निकालती है (देखिए आकृति 15.4) | इसकी प्रायिकता है कि निकाली गई मछली नर मछली है ?
हलः मछलियों की कुल संख्या = (नर मछलियों की संख्या) + (मादा मछलियों की संख्या) = 5 + 8 = 13
कुंड में से मछली निकालने की घटना के परिणामों की कुल संख्या = 13
संभव परिणामों की संख्या = 13
चूंकि नर मछलियों की संख्या = 5
अनुकूल परिणामों की संख्या = 5

Ex 15.1 Class 10 गणित Q12. संयोग (chance) के एक खेल में, एक तीर को घुमाया जाता है, जो विश्राम में आने के बाद संख्याओं 1,2,3,4,5,6,7, और 8 में से किसी एक संख्या को इंगित करता है (देखिए आकृति 15.5 ) | यदि ये सभी परिणाम समप्रायिक हों तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह तीर इंगित

(i) 8 को करेगा ?

(ii) एक विषम संख्या को करेगा ?

(iii) 2 से बड़ी संख्या को करेगा ?

(iv) 9 से छोटी संख्या को करेगा ?
हलः चूंकि विश्राम में आने पर तीर 1 से 8 तक की किसी भी संख्या को इंगित करता है।
संभव परिणामों की संख्या = 8
(i) चूंकि चक्र पर 8 का एक अंक है।
अंक 8 को इंगित करने की घटना के परिणामों की संख्या = 1
अनुकूल परिणामों की संख्या = 1

Ex 15.1 Class 10 गणित Q13. एक पासे को एक बार फेंका जाता है | निम्नलिखित को प्राप्त करने कि प्रायिकता ग्यत५ कीजिए :

(i) एक अभाज्य संख्या

(ii) 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या

(iii) एक विषम संख्या
हलः
(i) एक पासे पर अभाज्य संख्याएँ 2, 3 और 5 हैं।
माना कि घटना E” एक अभाज्य संख्या प्राप्त करना है।”
E के अनुकूल परिणामों की संख्या = 3
चूंकि पासे पर छः संख्याएँ [1, 2, 3, 45 और 6] होती हैं।
E के संभावित परिणामों की संख्या = 6

Ex 15.1 Class 10 गणित Q14. 52 पत्तों कि अच्छी प्रकार से फेटी गई एक गड्डी में से एक पत्ता निकला जाता है | निम्नलिखित को प्राप्त करने कि प्रायिकता ज्ञात कीजिए :

(i) लाल रंग का बादशाह

(ii) एक फेस कार्ड अर्थात् तस्वीर वाला पत्ता

(iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता

(iv) पान का गुलाम

(v) हुकुम का पत्ता 

(vi) एक ईंट कि बेगम
हलः चूंकि तास की एक गड्डी में 52 पत्ते होते हैं।
एक पत्ता 52 तरीकों से निकाला जा सकता है।
प्रत्येक अवस्था में सभी संभव परिणामों की संख्या = 52
(i) माना घटना E, “लाल रंग का बादशाह प्राप्त करना है।
चूंकि एक गड्डी में लाल रंग के 2 बादशाह [1 पान (hearts) का और 1 ईंट (diamond) का]
अनुकूल परिणामों की संख्या = 2,
सभी संभव परिणामों की संख्या = 52

Ex 15.1 Class 10 गणित Q15. ताश के पाँच पत्तों – ईंट का दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह और इक्का – को पलट करके अच्छी प्रकार फेटा जाता है | फिर इनमें से यादृच्छया एक पत्ता निकाला जाता है |

(i) इसकी क्या प्रायिकता है कि यह पत्ता एक बेगम है |

(ii) यदि बेगम निकल आती है, तो उसे अलग रख दिया जाता है और एक अन्य निकाला जाता

है | इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा निकाला गया पत्ता

(a)   एक इक्का है ?

(b) एक बेगम है ?
हलः चूंकि कुल पत्ते (दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह और इक्का) पाँच हैं।
(i) माना घटना, E“ निकाला गया पत्ता एक बेगम है” को प्रदर्शित करता है।
कुल परिणामों की संख्या = 5
चूंकि इन पत्तों में केवल एक ही बेगम है।
अनुकूल परिणामों की संख्या = 1

(ii) चूंकि बेगम के पत्ते को निकालकर एक ओर रखने पर, हमारे पास केवल चार पत्ते बचते हैं।
सभी संभव परिणामों की संख्या = 4
(a) चूंकि चार पत्तों में केवल 1 इक्का है।
घटना, E“ निकाला गया पत्ता एक इक्का है” के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या = 1

(b) माना घटना E, “निकाला गया पत्ता एक बेगम है” को दर्शाता है।
P(E) = 0

Ex 15.1 Class 10 गणित Q16. किसी कारण 12 खराब पेन 132 अच्छे पेनों में मिल गए हैं | केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता है कि कोई पेन खराब है या अच्छा है | इस मिश्रण में से, एक पेन यादृच्छया निकाला जाता है | निकले गए पेन कि अच्छा होने कि प्रायिकता ज्ञात कीजिए |
हलः कुल पेन = [अच्छे पेनों की संख्या] + [खराब पेनों की संख्या] = [132] + [12] = 144
अतः एक अच्छा पेन निकाले जाने के 144 परिणाम हो सकते हैं।
संभावित परिणामों की संख्या = 144
माना घटना E, “एक अच्छे पेन का निकलना” है।
और अच्छे पेनों की संख्या = 132
E के अनुकूल परिणामों की संख्या = 132

Ex 15.1 Class 10 गणित Q17. (i) 20 बल्बों के एक समूह में 4 बल्ब खराब हैं | इस समूह में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है | निकाले गए पेन कि अच्छा है | इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब होगा ?  
हलः
(i) कुल बल्बों की संख्या = 20
सम्भावित परिणामों की संख्या = 20
खराब बल्बों की संख्या = 4
अनुकूल परिणामों की संख्या = 4
माना घटना E, “निकाला गया बल्ब का खराब होना” है।

(ii) चूंकि ऊपर निकाला गया बल्ब खराब नहीं है। और इसे दुबारा बल्बों के साथ नहीं मिलाया गया है।
शेष बल्बों की संख्या = 20 – 1 = 19;
खराब बल्बों की संख्या = 4
शेष बचे बल्बों में अच्छे बल्बों की संख्या = 19 – 4 = 15
इस प्रकार, एक अच्छे बल्ब के निकलने के लिए। अनुकूल परिणामों की संख्या = 15
चूंकि शेष बचे कुल बल्ब 19 है, इसलिए सभी संभव परिणामों की संख्या = 19
माना घटना E, ‘निकाला गया बल्ब खराब नहीं है’ को प्रदर्शित करता है।

Ex 15.1 Class 10 गणित Q18. एक पेटी में 90 डिस्क (discs) हैं, जिन पर 1 से 90 तक संख्याएँ अंकित हैं | यदि इस पेटी में से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी :

(i) दो अंकों कि एक संख्या

(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या

(iii) 5 से विभाज्य एक संख्या |
हलः पेटी में डिस्कों की संख्या = 90
एक डिस्क निकालने के 90 सम्भव परिणाम हो सकते हैं।
(i) चूंकि प्रत्येक डिस्क पर एक अंक (1 से 90 तक) अंकित हैं।
ऐसी डिस्को की संख्या जिन पर 2 अंकों वाली संख्या अंकित हैं = 90 – (1 अंक वाली संख्याएँ) = 90 – 9 = 81
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 और 9 एक अंक वाली संख्याएँ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या = 81
माना घटना E” निकाली गई डिस्क पर दो अंकों वाली संख्या का अंकित होना” है।

(ii) चूंकि 1 से 90 तक की संख्याओं में 90 पूर्ण वर्ग अर्थात् 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 और 81 है।
अनुकूल परिणामों की संख्या = 9
माना घटना E, ‘निकाली गई डिस्क पर एक पूर्ण वर्ग अंकित होना है।

(iii) चूंकि 1 से 90 तक की संख्याओं में 5 से विभाज्य संख्याएँ:
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85 और 90 हैं।
जिनकी संख्या 18 है। माना घटना E, “निकाली गई डिस्क पर अंकित संख्या 5 से विभाज्य” है।

Ex 15.1 Class 10 गणित Q19. एक बच्चे के पास ऐसा पासा है जिसके फलकों पर निम्नलिखित अक्षर अंकित है :

इस पासे को एक बार फेंका जाता है | इसकी क्या प्रायिकता है कि 

(i) A प्राप्त हो ?

(ii) D प्राप्त हो ?
हलः चूंकि पासे के 6 फलकों पर अंकित अक्षर इस प्रकार हैं:

फेंके जाने पर एक अक्षर छः प्रकार से प्राप्त होता है।
सम्भव परिणामों की कुल संख्या = 6
(i) चूंकि दो फलकों पर अक्षर A अंकित है।
अक्षर A दो प्रकार से प्राप्त हो सकता है।
अनुकूल परिणामों की संख्या = 2
माना घटना E “अक्षर A का प्राप्त होना” है,

(ii) चूंकि केवल एक फलक पर अक्षर D अंकित है।
अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
माना घटना E “अक्षर D वाला फलक प्राप्त हो” है,

Ex 15.1 Class 10 गणित Q20. मान लीजिये आप एक पासे को आकृति 15.6 में दर्शाए आयताकार क्षेत्र में यादृच्छया रूप से गिराते हैं | इसकी क्या प्रायिकता है कि वह पासा 1m व्यास वाले वृत्त के अन्दर गिरेगा ?

Ex 15.1 Class 10 गणित Q21. 144 बाल पेनों के एक समूह में 20 बाल पेन खराब हैं और शेष अच्छे हैं | आप वाही पेन खरीदना चाहेंगे जो अच्छा हो, परन्तु खराब पेन आप खरीदना नहीं चाहेंगे | दुकानदार इन पेनों में से, यादृच्छया एक पेन निकालकर आपको देता है | इसकी क्या प्रायिकता है कि

(i) आप वह पेन खरीदेंगे ?

(ii) आप वह पेन नहीं खरीदेंगे ?
हलः बॉल पेनों की कुल संख्या = 144
1 पेन निकालने के संभावित परिणामों की संख्या = 144
(i) चूंकि खराब पेनों की संख्या = 20
अच्छे पेनों की संख्या = 144 – 20 = 124
अनुकूल परिणामों की संख्या = 124
माना घटना E, “अच्छा पेन खरीदना” है।

Ex 15.1 Class 10 गणित Q22. उदाहरण 13 को देखिए | (i) निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए :

(ii) एक विधार्थी यह तर्क देता है कि ‘यहाँ कुल 11 परिणाम 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 और 12 है | अतः प्रत्येक कि प्रायिकता 1/11 है|’ क्या आप इस तर्क से सहमत है ? सकारण उत्तर दीजिए |
हलः जब नीला पासा ‘1’ दर्शाता है, तो सलेटी पासे पर संख्याओं 1, 2, 3, 4, 5, 6 में से कोई भी संख्या हो सकती है। यही
तब भी होगा, जब नीले पासे पर ‘2’, ‘3’, ‘4’, ‘5’ या ‘6’ होगा। इस प्रयोग के संभावित परिणामों को नीचे सारणी में दिया गया है। प्रत्येक क्रमित युग्म की पहली संख्या नीले पासे पर आने वाली संख्या है तथा दूसरी संख्या सलेटी पासे पर आने वाली संख्या है।

Ex 15.1 Class 10 गणित Q23. एक खेल में एक रूपए के सिक्के को तीन बार उछाला जाता है और प्रत्येक बार का परिणाम लिख लिया जाता है | तीनों परिणाम समान होने पर, अर्थात् तीन चित या तीन पट प्राप्त होने पर, हनीफ खेल में जीत जाएगा, अन्यथा वह हार जाएगा | हनीफ के खेल में हार जाने कि प्रायिकता परिकलित कीजिए |
हलः एक सिक्के को उछालने पर, माना चित प्राप्त होना H और पट प्राप्त होना T है।
एक सिक्के को तीन बार उछालने पर हमें निम्नांकित परिणाम प्राप्त हो सकते हैं:

Ex 15.1 Class 10 गणित Q24.एक पासे को दो बार फेंका जाता है | इसकी क्या प्रायिकता है कि

(i) 5 किसी भी बार में नहीं आएगा ?

(ii) 5 कम से कम एक बार आएगा ?

[संकेत : एक पासे को दो बार फेंकना और दो पासों को एक साथ फेंकना एक ही प्रयोग माना जाता है |]
हलः एक पासे को दो बार फेंकना या दो पासों को एक साथ फेंकना एक ही घटना है।
सभी संभव परिणाम इस प्रकार हैं:

Ex 15.1 Class 10 गणित Q25. निम्नलिखित में से कौन से तर्क सत्य है और कौन से तर्क असत्य है ? सकारण उत्तर दीजिए |

(i) यदि दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है, तो इसके तीन संभावित परिणाम – दो चित, दो पट या प्रत्येक एक बार हैं | अतः इनमें से प्रत्येक परिणाम कि प्रायिकता 1/3 है |

(ii) यदि एक पासे को फेंका जाता है, तो इसके दो संभावित परिणाम – एक विषम संख्या या एक सम संख्या हैं | अतः एक विषम संख्या ज्ञात करने की प्रायिकता 1/2 है |
हुलः
(i) यह कथन असत्य है, [क्योंकि जब दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है, तो ‘प्रत्येक में से एक’ दो प्रकार से परिणाम दे सकता है-पहले सिक्के से चित और दूसरे सिक्के पर पट या पहले सिके से पट और दूसरे से चित प्राप्त हो सकता है। इस प्रकार दो बार चित और दो बार पट आ सकता है] इस प्रकार प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता
\(\frac { 1 }{ 4 }\) है। \(\frac { 1 }{ 3 }\) नहीं।
(ii) हाँ, यह कथन सत्य है।

प्रश्नावली 15.2 

Ex 15.2 Class 10 गणित Q1. दो ग्राहक श्याम और एकता एक विशेष दुकान पर एक ही सप्ताह में जा रहे हैं ( मंगलवार से शनिवार तक ) | प्रत्येक द्वारा दुकान पर किसी दिन या किसी अन्य दिन जाने के परिणाम समप्रायिक है | इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों उस दुकान पर

(i) एक ही दिन जाएँगे ?

(ii) क्रमागत दिनों में जाएँगे ?

(iii) भिन्न – भिन्न दिनों में जाएँगे ?
हलः यदि मंगलवार को T से, बुधवार को W से, वीरवार को Th से, तथा शनिवार को S से प्रकट करें, तो ग्राहकों श्याम और
एकता द्वारा एक विशेष दुकान पर एक ही सप्ताह (मंगलवार से शनिवार) में जाने के सभी संभव परिणाम निम्नांकित हो सकते हैं:

Ex 15.2 Class 10 गणित Q2. एक पासे के फलकों पर संख्याएँ 1,2,2,3,3, और 6 लिखी हुई हैं | इसे दो बार फेंका जाता है तथा दोनों बार प्राप्त हुई संख्याओं के योग लिख लिए जाते हैं | दोनों बार फेंकने के बाद, प्राप्त योग के कुछ संभावित मान निम्नलिखित सारणी में दिए हैं इस सारणी को पूरा कीजिए |

इसकी क्या प्रायिकता है कि कुल योग 

(i) एक सम संख्या होगा ?

(ii) 6 है ?

(iii) कम से कम 6 है ?
हलः पूरा करने पर सारणी इस प्रकार है:

Ex 15.2 Class 10 गणित Q3. एक थैले में 5 लाल गेंद और कुछ नीली गेंदे है यदि इस थैले में से नीली गेंद निकलने की प्रायिकता लाल गेंद निकालने की प्रायिकता कि दुगुनी है, तो थैले में गेंदों कि संख्या ज्ञात
कीजिए |
हलः माना थैले में नीली गेदों की संख्या x है।
सभी संभव परिणामों की संख्या = (लाल गेंदों की संख्या) + (नीली गेदों की संख्या) = (5 + x)
यदि घटना “ थैले में से नीली गेंद निकालना” को E से व्यक्त करें, तो
E के अनुकूल परिणामों की संख्या = x

Ex 15.2 Class 10 गणित Q4.एक पेटी में 12 गेंदे है, जिनमें से x गेंद काली है | यदि इसमें से एक गेंद यादृच्छया निकली जाती है, तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह गेंद काली है |
हलः पेटी में गेदों की कुल संख्या = 12
सभी संभव परिणामों की संख्या = 12
अवस्था- I: यदि घटना “निकाली गई गेंद काली है” को E से व्यक्त करें, तो
E के अनुकूल परिणामों की संख्या = x [पेटी में x काली गेंदे हैं।]

Ex 15.2 Class 10 गणित Q5. एक जार में 24 कंचे है जिनमे कुछ हरे हैं और शेष नीले हैं | यदि इस जार में से यादृच्छया एक कंचा निकाला जाता है तो इस कंचे के हरा होने कि प्रायिकता 2/3 है | जार में नीले कंचों कि संख्या ज्ञात कीजिए | 
हलः चूंकि जार में 24 कंचे हैं।
सभी संभव परिणामों की संख्या = 4
माना जार में नीले कचे x हैं।
जार में हरे कंचों की संख्या = 24 – x
यदि घटना “निकाला गया कंचा हरा है” को E से व्यक्त करें, तो
E के अनुकूल परिणामों की संख्या = (24 – x)

Hope given NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 15 are helpful to complete your homework.

प्रश्नावली 14.2

Ex 14. Class 10 गणित Q1. विधार्थियों के एक समूह द्वारा अपने पर्यावरण संचेतना अभियान के अन्तर्गत एक सर्वेक्षण किया गया, जिसमें उन्होंने एक मोहल्ले के 20 घरों में लगे हुए पौधों से संबंधित निम्नलिखित आँकड़े एकत्रित किए | प्रति घर पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए |

माध्य ज्ञात करने के लिए आपने किस विधि का प्रयोग किया और क्यों ? 

Ex 14.2 Class 10 गणित Q2. किसी फैक्ट्री के 50 श्रमिकों मज़दूरी के निम्नलिखित बंटन पर विचार कीजिए :

एक उपयुक्त विधि का प्रयोग करते हुए, इस फैक्ट्री के श्रमिकों की माध्य दैनिक मज़दूरी ज्ञात कीजिए |

हल : प्रत्येक अंतराल के लिए वर्ग-चिन्ह को इस सूत्र से ज्ञात करेंगे

कल्पित माध्य विधि (Assume mean Method) से

Σfidi = – 480 + – 280 + 0 + 120 + 400 = – 760 + 520 = – 240

Σfi = 50 और a = 150

Ex 14.2 Class 10 गणित Q3. निम्नलिखित बंटन एक मोहल्ले के  बच्चों के दैनिक जेबखर्च दर्शाता है | माध्य जेबखर्च 18 रू है | लुप्त बारंबारता f ज्ञात कीजिए :

हल : 

कल्पित माध्य विधि (Assume mean Method) से

Σfidi = 2f – 40,  Σfi = 44 + f और a = 18,

Ex 14.2 Class 10 गणित Q4. किसी अस्पताल में, एक डॉक्टर द्वारा 30 महिलाओं की जाँच की गई और उनके ह्रदय स्पंदन (beat) की प्रति मिनट संख्या नोट करके नीचे दर्शाए अनुसार संक्षिप्त रूप में लिखी गई | एक उपयुक्त विधि चुनते हुए, इन महिलाओं के ह्रदय स्पंदन की प्रति मिनट माध्य संख्या ज्ञात कीजिए :

हल : 

कल्पित माध्य विधि (Assume mean Method) से

Σf_id_i = 12,  Σf_i = 30 और a = 75.5,

अत: महिलाओं के ह्रदय स्पंदन की प्रति मिनट माध्य संख्या = 75.9 है |

Ex 14.2 Class 10 गणित Q5. किसी फुटकर बाज़ार में, फल विक्रेता पेटियों में रखे आम बेच रहें थे | इन पेटियों में आमों की संख्याएँ भिन्न – भिन्न थी | पेटियों की संख्या के अनुसार, आमों का बंटन निम्नलिखित था : 

एक पेटी में रखे आमों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए | आपने माध्य ज्ञात करने की किस विधि का प्रयोग किया है ?

हल: 

दी गयी श्रृखला समावेशी (inclusive) है जहाँ वर्ग-अंतरालों में 1 का अंतर है | अत: दी गयी श्रृंखला को अपवर्जी (exclusive) श्रृंखला में बदलेंगे |

53 – 52 = 1

= 57 + 0.1875

= 57.1875 या 57.19

आमों की माध्य संख्या = 57.19

Ex 14.2 Class 10 गणित Q6. निम्नलिखित सारणी किसी मोहल्ले के 25 परिवारों में भोजन पर हुए दैनिक व्यय को दर्शाती है:

एक उपयुक्त विधि द्वारा भोजन पर हुआ माध्य व्यय ज्ञात कीजिए |

हल : 

पग-विचलन विधि (Step-deviation Method) से माध्य :

Σfiui = – 7, Σfi = 25, h = 50 , a = 225

पग-विचलन विधि के सूत्र में उपरोक्त मानों (values) को रखने पर

Ex 14.2 Class 10 गणित Q7. वायु में सल्फर डाई – ऑक्साइड (SO ) की सान्द्रता (भाग प्रति मिलियन में ) को ज्ञात करने के लिए, एक नगर के मोहल्लों से आँकड़े एकत्रित किए गये, जिन्हें नीचे प्रस्तुत किया गया है :

वायु में SO₂  की सांद्रता का माध्य ज्ञात कीजिए |

हल :

पग-विचलन विधि (Step-deviation Method) से माध्य :

Σf_iu_i = – 31, Σf_i = 30, h = 0.04 , a = 0.14

पग-विचलन विधि के सूत्र में उपरोक्त मानों (values) को रखने पर

वायु में सल्फर डाई-ऑक्साइड (SO ) की सान्द्रता का माध्य = 0.099

Ex 14.2 Class 10 गणित Q8. किसी कक्षा अध्यापिका ने पुरे सत्र के लिए अपनी कक्षा के 40 विधार्थियों कि अनुपस्थिति निम्नलिखित रूप में रिकॉर्ड (record) की | एक विधार्थी जितने दिन अनुपस्थित रहा उनका माध्य ज्ञात कीजिए :

हल :

विद्यार्थी की अनुपस्थित का माध्य = 12.48 दिन

Ex 14.2 Class 10 गणित Q9. निम्नलिखित सारणी 35 नगरों कि साक्षरता दर (प्रतिशत में ) दर्शाती है | माध्य साक्षरता दर ज्ञात कीजिए :

 हल : 

पग-विचलन विधि (Step-deviation Method) से माध्य :

Σf_iu_i = – 2, Σf_i = 35, h = 10 , a = 70

पग-विचलन विधि के सूत्र में उपरोक्त मानों (values) को रखने पर

अत: माध्य साक्षरता दर = 69.43 %

प्रश्नावली 14.3 

Ex 14. Class 10 गणित Q1. निम्नलिखित बारंबारता बंटन किसी मोहल्ले के 68 उपभोक्ताओं की बिजली कि मासिक खपत दर्शाता है | इन आँकड़ों के Ex माध्यक, माध्य और बहुलक ज्ञात कीजिए | इनकी तुलना कीजिए |

हल :

माध्यक (Median) के लिए : 

34 संचयी बारंबारता के 42 में शामिल है |

इसलिए, माध्यक वर्ग 125 – 145 है |

अत: l = 125, f = 20, cf = 22 (माध्यक वर्ग से ठीक ऊपर वाला संचयी बारंबारता) और

h = 20, 

बहुलक के लिए :

सारणी से हमें ज्ञात होता है कि वर्ग 125 – 145 की बारंबारता सबसे अधिक है इसलिए बहुलक वर्ग 125 – 145 है

अत: l = 125, f₀ = 13, f₁ = 20, f₂ = 14 और h = 20

माध्यक = 137, माध्य = 137.058 और बहुलक = 135.76 

Ex 14.3 Class 10 गणित Q2. यदि नीचे दिए हुए बंटन का माध्यक 28.5 हो तो x और y के मान ज्ञात कीजिए :

हल : 

दिया है, माध्यक = 28.5,

अत: 28.5 वर्ग-अन्तराल 20 – 30 में शामिल है |

इसलिए, l = 20, f = 20, h = 10 और cf = 5 + x

N = 60,

अब,  45 + x + y = 60

अथवा x + y = 60 – 45

x + y = 15

8 + y = 15   समी० (1) से

y = 15 – 8

y = 7

x = 8, और y = 7 

Ex 14.3 Class 10 गणित Q3. एक जीवन बीमा एजेंट 100 पॉलिसी धारकों कि आयु के बंटन के निम्नलिखित आँकड़े ज्ञात करता है | माध्यक आयु परिकलित कीजिए, यदि पॉलिसी केवल उन्हीं व्यक्तियों को दी जाती है,  जिनकी आयु 18 वर्ष या उससे अधिक हो, 60 वर्ष से कम हो |

हल :

Ex 14.3 Class 10 गणित Q4. एक पौधे कि 40 पत्तियों कि लंबाइयाँ निकटतम मिलीमीटरों में मापी जाती है तथा प्राप्त आँकड़ों को निम्नलिखित सारणी के रूप में निरुपित किया जाता है :

पत्तियों की माध्यक लंबाई ज्ञात कीजिए |

संकेत : माध्यक ज्ञात करने के लिए, आँकड़ों को सतत वर्ग अंतरालों में बदलना पड़ेगा, क्योंकि सूत्र में वर्ग अंतरालों को सतत मन गया है | तब ये वर्ग 117.5 – 126.5 – 135.5,…,171.5 – 180.5 में बदल जाते हैं |  

हल :

Ex 14.3 Class 10 गणित Q5. निम्नलिखित सारणी 400 नियाँन लैंपों के जीवनकालों (life time) को प्रदर्शित करती है :

  एक लैंप का माध्यक जीवन काल ज्ञात कीजिए |

हल :

Ex 14.3 Class 10 गणित Q6. एक स्थानीय टेलीफ़ोन निर्देशिका से 100 कुलनाम (surnames) लिए और उनमें प्रयुक्त अंग्रेज़ी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का निम्नलिखित बारंबारता बंटन प्राप्त हुआ :

हल :

कुलनामों में माध्यक अक्षरों कि संख्या ज्ञात कीजिए |  कुलनामों में माध्य अक्षरों कि संख्या ज्ञात कीजिए | साथ ही, कुलनामों का बहुलक ज्ञात कीजिए |

Ex 14.3 Class 10 गणित Q7. नीचे दिया हुआ बंटन एक कक्षा के 30 विधार्थियों के भार दर्शा रहा है | विधार्थियों का माध्यक भार ज्ञात कीजिए |

हल :

प्रश्नावली 14.4

Ex 14.4 Class 10 गणित Q1. निम्नलिखित बंटन किसी फैक्ट्री के 50 श्रमिकों कि दैनिक आय दर्शाता है :

‘उपरोक्त बंटन को एक कम प्रकार ‘ के संचयी बारंबारता बंटन में बदलिए और उसका तोरण खींचिए |

हल : ‘से कम प्रकार’ का संचयी बारंबारता बंटन सारणी :

‘से कम प्रकार’ के तोरण के लिए क्रमित युग्म (order pairs) :

(120, 12), (140, 26), (160, 34), (180, 40) और (200, 50)

Ex 14.4 Class 10 गणित Q2. किसी कक्षा के 35 विधार्थियों कि मेडिकल जाँच के समय, उनके भार निम्नलिखित रूप में रिकॉर्ड किए गए :

उपरोक्त आँकड़ों के ‘लिए कम प्रकार का तोरण’ खींचिए | इसके बाद माध्यक भार ज्ञात कीजिए |

हल : ‘से कम प्रकार के‘ तोरण के लिए संचयी बारंबारता सारणी

‘से कम प्रकार’ के तोरण के लिए के लिए क्रमित युग्म (Order pairs) :

(38, 0), (40, 3), (42, 5), (44, 9), (46, 14), (48, 28), (50, 32), (52, 35)

Ex 14.4 Class 10 गणित Q3. निम्नलिखित सारणी किसी गाँव के 100 फार्मों में हुआ प्रति हेक्टेयर (ha) गेंहूँ का उत्पादन दर्शाते हैं :

इस बंटन को ‘अधिक के प्रकार के ‘ बंटन में बदलिए और फिर उसका तोरण खींचिए |

हल : ‘से अधिक प्रकार के‘ तोरण के लिए संचयी बारंबारता सारणी:

‘से अधिक प्रकार’ के तोरण के लिए के लिए क्रमित युग्म (Order pairs) :

(50, 100), (55, 98), (60, 90), (65, 78), (70, 54), (75, 16)

प्रश्नावली 14.5

अतिरिक्त एवं महत्वपूर्ण प्रश्न : 

Ex 14.5 Class 10 गणित Q1. निम्न आँकडें आरोही क्रम में लिखे गए हैं। यदि आँकडों का माध्यक 14.5 है तो x का मान ज्ञात कीजिए।

11, 12, 13, 7x, 7x + 1, 16, 16, 18, 20

Ex 14.5 Class 10 गणित Q2. 5 संख्याओं का माध्य 18 है | यदि एक संख्या निकल दी जाए, तो माध्य 16 हो जाता है | तो निकाली गयी संख्या ज्ञात कीजिए | 

Ex 14.5 Class 10 गणित Q3. 20 संख्याओं का माध्य 17 है, यदि प्रत्येक संख्या में 3 जोड़ा जाए तो नया माध्य ज्ञात कीजिए |

Ex 14.5 Class 10 गणित Q4. ‘से कम प्रकार’ तथा ‘से अधिक’ के तोरण के प्रतिच्छेदन बिन्दु का भुज किस केन्द्रीय प्रवृत्ति की माप को दर्शाता है ?

Ex 14.5 Class 10 गणित Q5. यदि 2,3,5,4,2,6,3,5,5,2 और x का बहुलक 2 है, तो ‘x’ का मान ज्ञात कीजिए |

Ex 14.5 Class 10 गणित Q6. 2,3,6,0,1,4,8,2,5 की माध्यिका ज्ञात कीजिए |

Ex 14.5 Class 10 गणित Q7. x, x + 1, x + 2, x + 3, x + 4, x + 5 और x + 6 का माध्य ज्ञात कीजिए |

Ex 14.5 Class 10 गणित Q8. प्रथम 10 विषम संख्याओं का माध्य ज्ञात कीजिए | 

Ex 14.5 Class 10 गणित Q9. यदि आरोही क्रम में लिखे प्रेक्षणों 24, 25, 26, x + 3, 30, 31, 34 की माध्यिका 27.5 है, तो ‘x’ का मान ज्ञात कीजिए |

Ex 14.5 Class 10 गणित Q10. 40 प्रेक्षणों का माध्य 160 था | जाँच करने पर ज्ञात हुआ कि 165 गलती से 125 लिखा गया था, सही माध्य ज्ञात कीजिए |

Ex 14.5 Class 10 गणित Q11. एक मैचों की श्रृंखला में एक बास्केट बॉल टीम द्वारा हासिल किए गए मैचों में अंक इस प्रकार था :

  17, 2, 7, 27, 25, 5, 14, 18 , 10, 24, 10, 8, 7, 10
  तो आंकड़ों का माध्य, माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए |

Ex 14.5 Class 10 गणित Q12. 40, 42, 80, 69, 56, 47 का परिसर क्या है ?

Ex 14.5 Class 10 गणित Q13. यदि 25, 30, 32, x, 43 का समान्तर माध्य 34 है तो x का मान ज्ञात कीजिए | 

Ex 14.5 Class 10 गणित Q14. निम्नलिखित आंकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए |

     5, 7, 6, 5, 9, 8, 6, 7, 11, 10, 5, 7, 6, 8, 6, 9, 10.

Ex 14.5 Class 10 गणित Q15. 34, 32, x, x-1, 19, 15, 11 का माध्यक ज्ञात कीजिए जहाँ x आँकड़ें 10, 20, 30, 40, 50 का माध्य है |

Ex 14.5 Class 10 गणित Q20. एक मोहल्ले के 20 घरों में लगे हुए पौधों से संबंधित निम्नलिखित आँकडें एकत्रित किए प्रति घर पौधों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए ।

Ex 14.5 Class 10 गणित Q21. किसी फैक्टरी के कुछ श्रमिकों की दैनिक मजदूरी के बंटन का माध्य 145.20 है तो f का मान ज्ञात कीजिए ।

Ex 14.5 Class 10 गणित Q22. निम्न सारणी कुछ परिवारों में भोजन पर हुए दैनिक व्यय का माध्य व्यय 211 रू है तो f का मान ज्ञात कीजिए ।

Ex 14.5 Class 10 गणित Q23. नीचे दिया हुआ बंटन एकदिवसीय क्रिकेट मैचों में, गेंदबाजों द्वारा लिए गए विकटों का माध्य ज्ञात कीजिए ।

Ex 14.5 Class 10 गणित Q24. निम्न ऑकडों का माध्य, माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए ।

Ex 14.5 Class 10 गणित Q25. एक सर्वेक्षण के आँकडे दिए गए है जो दशवीं कक्षा के लडकियों का ऊँचाई है। निम्न आँकडों से माध्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।   

Ex 14.5 Class 10 गणित Q26. p का मान ज्ञात कीजिए यदि दिए गए बंटन का माध्य 20 हो |

Ex 14.5 Class 10 गणित Q27. निम्न आँकडों से माध्य, माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए ।

Ex 14.5 Class 10 गणित Q28. निम्न आँकडों का माध्यक 525 है। यदि बारम्बारताओं का योग 100 है, तो x और y का मान ज्ञात कीजिए ।

Ex 14.5 Class 10 गणित Q29. उपयुक्त आँकडों से ‘से कम प्रकार’ का तोरण खींचिए। प्राप्त ग्राफ से माध्यक ज्ञात कीजिए |

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Ex 9.1 Class 10 गणित Q1. सर्कस का एक कलाकार एक 20 m लंबी डोर पर चढ़ रहा है जो अच्छी तरह से तनी हुई है और भूमि पर सीधे लगे खंभे के शिखर से बंध हुआ है। यदि भूमि स्तर के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण 30° का हो तो खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति)|

Solution: 

माना खंभे की ऊँचाई = h मीटर

डोरी की लंबाई = 20 मीटर

θ = 30^०

समकोण त्रिभुज ABC में;

Ex 9.1 Class 10 गणित Q2. आँधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ 30^० का कोण बनाता है। पेड़ के पाद-बिंदु की दूरी, जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छूता है, 8 m है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Solution:

माना पेड़ की ऊँचाई BC’ है और पेड़ बिंदु A से टूटकर

जमीन पर बिंदु C पर झुकी है |

θ = 30^°, BC = 8 m

समकोण त्रिभुज ABC में, AB भुजा के लिए,

Ex 9.1 Class 10 गणित Q3. एक ठेकेदार बच्चों को खेलने के लिए एक पार्क में दो फिसलनपट्टी लगाना चाहती है। 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए वह एक ऐसी फिसलनपट्टी लगाना चाहती है जिसका शिखर 1.5 m की ऊँचाई पर हो और भूमि के साथ 30° के कोण पर झुका हुआ हो, जबकि इससे अधिक उम्र के बच्चों के लिए वह 3 m की ऊँचाई पर एक अधिक ढाल की फिसलनपट्टी लगाना चाहती है, जो भूमि के साथ 60° का कोण बनाती हो। प्रत्येक स्थिति में फिसलनपट्टी की लंबाई क्या होनी चाहिए?

Solution: 

Ex 9.1 Class 10 गणित Q4. भूमि के एक बिंदु से, जो मीनार के पाद-बिंदु से 30 m की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Solution:

माना मीनार AB की ऊँचाई = h मीटर

बिंदु C से मीनार के पाद बिंदु B की दुरी = 30 m

समकोण  ΔABC में,

Ex 9.1 Class 10 गणित Q5. भूमि से 60 m की ऊँचाई पर एक पतंग उड़ रही है। पतंग में लगी डोरी को अस्थायी रूप से भूमि के एक बिंदु से बांध् दिया गया है। भूमि के साथ डोरी का झुकाव 60° है। यह मानकर कि डोरी में कोई ढील नहीं है, डोरी की लंबाई ज्ञात कीजिए।

Solution:

Ex 9.1 Class 10 गणित Q6. 1.5 m लंबा एक लड़का 30 m ऊँचे एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा है। जब वह ऊँचे भवन की ओर जाता है तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है। बताइए कि वह भवन की ओर कितनी दूरी तक चलकर गया है।

Solution:

माना कि वह लड़का x m दूर भवन की ओर गया |

लडके ऊंचाई छोड़कर भवन की ऊंचाई (AB) = 30 m – 1.5 m

= 28.5 m

समकोण त्रिभुज ABC में,

Ex 9.1 Class 10 गणित Q7. भूमि के एक बिंदु से एक 20 m ऊँचे भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 45° और 60° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Solution:

माना संचार मीनार की ऊंचाई (AD) = h m

भवन की ऊंचाई (DC) = 20 m

माना भूमि पर वह बिंदु B है |

भवन सहित मीनार की ऊंचाई (AC) = (20 + h) m

समकोण त्रिभुज BCD में,

Ex 9.1 Class 10 गणित Q8. एक पेडस्टल के शिखर पर एक 1.6 m ऊँची मूर्ति लगी है। भूमि के एक बिंदु से मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और उसी ¯बदु से पेडस्टल के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। पेडस्टल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Solution:

माना पेडस्टल की ऊंचाई h मीटर है |

मूर्ति की ऊंचाई = 1.6 m

समकोण त्रिभुज BCD में,

Ex 9.1 Class 10 गणित Q9. एक मीनार के पाद-बिंदु  से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30^o है और भवन के पाद-बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। यदि मीनार 50m ऊँची हो, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Solution:

माना भवन की ऊंचाई = h m

समकोण त्रिभुज ABC में,

Ex 9.1 Class 10 गणित Q10. एक 80 m चैड़ी सड़क के दोनों ओर आमने-सामने समान लंबाई वाले दो खंभे लगे हुए हैं। इन दोनों खंभों के बीच सड़क के एक बिंदु से खंभों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 30° है। खंभों की ऊँचाई और खंभों से बिंदु की दूरी ज्ञात कीजिए।

Solution:

माना भूमि पर वह बिंदु B है |

और खंभों की ऊंचाई = h मीo,

B बिंदु से एक खंभे की दुरी = x m

तो दुसरे खंभे की दुरी = (80 – x) m

समकोण त्रिभुज ABC में,

Ex 9.1 Class 10 गणित Q11. एक नहर के एक तट पर एक टीवी टॉवर उर्ध्वार्धर खड़ा है टॉवर के ठीक सामने दूसरे तट के एक अन्य बिंदु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। इसी तट पर इस बिंदु से 20 m दूर और इस बिंदु को मीनार के पाद से मिलाने वाली रेखा पर स्थित एक अन्य बिंदु से टावर के शिखर का उन्नयन कोण 30° है । टॉवर की ऊँचाई और नहर की चैड़ाई ज्ञात कीजिए।

Solution:

माना टॉवर (AB) की ऊंचाई = h मीo

नहर BC की चौड़ाई = x मीo

समकोण त्रिभुज ABC में,

Ex 9.1 Class 10 गणित Q12. 7 m ऊँचे भवन के शिखर से एक केबल टावर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और इसके पाद का अवनमन कोण 45^o है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Solution:

माना टॉवर की ऊँचाई = h मीटर

भवन DE की ऊंचाई = 7 मीo

DE = BC = 7 मीo

AB की लंबाई = h – 7 मीo

समकोण त्रिभुज EDC में,

Ex 9.1 Class 10 गणित Q13.  समुद्र-तल से 75 m ऊँची लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण 30° और 45° हैं। यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो तो दो जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

Solution:

माना दो जहाजों A तथा B है

जिनका अवनमन कोण क्रमश: 45° और 30° है |

लाइट-हाउस DC की ऊंचाई = 75 m

चूँकि अवनमन कोण उन्नयन कोण के बराबर होता है |

∴ ∠DAC = 45^o और ∠DBC = 30^o

Ex 9.1 Class 10 गणित Q14.  1.2 m लंबी एक लड़की भूमि से 88.2 m की ऊँचाई पर एक क्षैतिज रेखा में हवा में उड़ रहे गुब्बारे को देखती है। किसी भी क्षण लड़की की आँख से गुब्बारे का उन्नयन कोण 60° है। कुछ समय बाद उन्नयन कोण घटकर 30° हो जाता है | इस अन्तराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गयी दुरी ज्ञात कीजिए | 

Solution:

लड़की की ऊंचाई = 1.2 m

भूमि से गुब्बारे की ऊंचाई = 88.2 m

लड़की को छोड़कर गुब्बारे की ऊंचाई = 88.2 – 1.2

AB = DE = 87.0 m

तय दुरी = BE

समकोण DABC में,

अर्थात इस अन्तराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गयी दुरी 87√3 m है |

Ex 9.1 Class 10 गणित Q15.  एक सीध राजमार्ग एक मीनार के पाद तक जाता है। मीनार के शिखर पर खड़ा एक आदमी एक कार को 30° के अवनमन कोण पर देखता है जो कि मीनार के पाद की ओर एक समान चाल से जाता है। छः सेकंड बाद कार का अवनमन कोण 60° हो गया। इस बिंदु से मीनार के पाद तक पहुँचने में कार द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए।

Solution:

माना कार को बिंदु C से मीनार के पाद B तक पहुँचने में x सेके ण्ड लगता है |

Ex 9.1 Class 10 गणित Q16.  मीनार के आधर से और एक सरल रेखा में 4 m और 9 m की दूरी पर स्थित दो ¯बदुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण पूरक कोण हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई 6 m है।

Solution:

माना मीनार की ऊँचाई = h मीटर है |

समकोण त्रिभुज ABC में,

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प्रश्नावली 13.1

जब तक अन्यथा न कहा जाए,  π = 22/7 लीजिए |

Ex 13.1 Class 10 गणित Q1.दो घनों, जिनमे से प्रत्येक का आयतन 64 cm3 है, के सलंग्न फलकों को मिलाकर एक ठोस बनाया जाता है | इससे प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

हल: 

एक घन का आयतन = 64 cm3

एक किनारा = (64)1/3

=  4 cm

दो घनों के फलकों को मिलाने पर

l = 4 + 4 = 8 cm

b = 4 cm

h = 4 cm

इसप्रकार इस घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + lh)

= 2(8×4 + 4×4 + 8×4)

​= 2(32 + 16 + 32)

= 2×80

= 160 cm²

अत: इस घनाभ का प्राप्त पृष्ठीय क्षेत्रफल 160 cm² है |

Ex 13.1 Class 10 गणित Q2. कोई बर्तन एक खोखले अर्धगोले के आकार का है जिसके ऊपर एक खोखला बेलन अध्यारोपित है | अर्धगोले का व्यास 14 cm है और इस बर्तन (पात्र) की कुल ऊँचाई 13 cm है | इस बर्तन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

हल :

Ex 13.1 Class 10 गणित Q3. एक खिलौना त्रिज्या 3.5 cm वाले एक शंकु के आकार का है, जो उसी त्रिज्या वाले एक अर्ध गोले पर अध्यारोपित है | इस खिलौने की संपूर्ण ऊँचाई 15.5 cm है | इस खिलोने का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

हल:

अर्धगोलाकार भाग की त्रिज्या r = 3.5 cm

शंक्वाकार भाग की त्रिज्या r = 3.5 cm

शंक्वाकार भाग की ऊँचाई h = 15.5 – 3.5 = 12 cm

Ex 13.1 Class 10 गणित Q4. भुजा 7 cm वाले एक घनाकार ब्लाक के ऊपर एक अर्धगोला रखा हुआ है | अर्धगोले का अधिकतम व्यास क्या हो सकता है ? इस प्रकार बने ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

हल :

घनाकार ब्लॉक का एक किनारा = 7 cm

अर्धगोले का अधिकतम व्यास d = 7 cm

ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = घनाकार ब्लॉक का क्षेत्रफल + अर्धगोले का क्षेत्रफल – अर्धगोले से ढके एक वृत्त का क्षेत्रफल

⇒ ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a2 + 2πr2 – πr2

= 6a2 + πr2   [ a = घन का एक किनारा ]

Ex 13.1 Class 10 गणित Q5 एक घनाकार ब्लाक के एक फलक को अन्दर की ओर से काट कर एक अर्धगोलाकार गड्ढा इस प्रकार बनाया गया है की अर्धगोले का व्यास घन के एक किनारे के बराबर है | शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

हल : 

( चूँकि घन का किनारा अर्धगोले के ब्यास के बराबर है )

शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = घनाकार ब्लॉक का क्षेत्रफल + अर्धगोले का क्षेत्रफल – अर्धगोले से ढके एक वृत्त का क्षेत्रफल

= 6a2 + 2πr2 – πr2 [ a = घन का एक किनारा ]

= 6a2 + πr2

Ex 13.1 Class 10 गणित Q6. दवा का एक कैप्सूल (capsule) एक बेलन के आकार का है जिसके दोनों सिरों पर एक – एक अर्धगोला लगा हुआ है (देखिए आकृति 13.10) | पुरे कैप्सूल की लंबाई 14 mm है और उसका व्यास 5 mm है इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |  

हल : 

यहाँ बेलन का ब्यास, अर्धगोले के ब्यास के बराबर है |

अत: अर्धगोले का ब्यास D = 5 mm

कैप्सूल का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (अर्धगोलों का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) + बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 × 2πr2 + 2πrh

= 2πr(2r + h)

Ex 13.1 Class 10 गणित Q7. कोई तंबू एक बेलन के आकार का है जिस पर एक शंकु  आध्यारोपित है | यदि बेलनाकार भाग की ऊँचाई और क्रमशः 2.1 m और 4 m है तथा शंकु की तिर्यक ऊँचाई 2.8 m है तो इस तंबू को बनाने में प्रयुक्त कैनवस (canvas) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए | साथ ही, 500 रू प्रति m2 की दर से इसमें प्रयुक्त कैनवस की लागत ज्ञात कीजिए | (ध्यान दीजिए कि तंबू के आधार को कैनवस से नहीं ढका जाता है |)

हल :

तम्बू के बेलनाकार भाग का ब्यास = 4 cm

अत: त्रिज्या r = 2 cm

बेलनाकार भाग की ऊँचाई h = 2.1 cm

शंकु की तिर्यक ऊँचाई l = 2.8 cm

ब्यास = 4 cm

और त्रिज्या r = 2 cm

इस तंबू को बनाने में प्रयुक्त कैनवस (canvas) का क्षेत्रफल

= बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + शंक्वाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2πrh + πrl

Ex 13.1 Class 10 गणित Q8. ऊँचाई 2.4 cm और व्यास 1.4 cm वाले एक ठोस बेलन में से ऊँचाई और इसी व्यास वाला एक शंक्वाकार खोल (cavity) काट लिया जाता है |शेष बचे ठोस का निकटतम वर्ग सेंटीमीटर तक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

हल :

बेलन की ऊँचाई h = 2.4 cm

बेलन का ब्यास = 1.4 cm

अत: बेलन की त्रिज्या r = 0.7 cm

काटे गए शंकु की ऊँचाई h = 2.4 cm

और त्रिज्या r = 0.7 cm

शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + बेलन के पेंदी का क्षेत्रफल

= 2πrh + πrl + πr2

= πr(2h + l + r)

Ex 13.1 Class 10 गणित Q9. लकड़ी के ठोस बेलन के प्रत्येक सिरे पर एक अर्धगोला खोदकर निकालते हुए, एक वस्तु बनाई गई है, जैसाकि आकृति 13.11 में दर्शाया गया है | यदि बेलन की ऊँचाई 10 cm है और आधार की त्रिज्या 3.5 cm है तो इस वस्तु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

हल : 

बेलन की ऊँचाई = 10 cm

आधार की त्रिज्या = 3.5 cm

अर्धगोले की त्रिज्या = 3.5 cm

वस्तु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल

= बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + उपरी अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + निचली अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2πrh + 2πr2 + 2πr2

= 2πr(h + r + r )

= 2πr(h + 2r )

अत: वस्तु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 374 cm2 है |

प्रश्नावली 13.2

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = 22/7 लीजिए |)

Ex 13.2 Class 10 गणित Q1. एक ठोस एक अर्धगोले पर खड़े एक शंकु के आकार का है जिनकी त्रिज्याएँ 1 cm हैं तथा शंकु की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है | इस ठोस का आयतन π के पदों में ज्ञात कीजिए |

हल :

Ex 13.2 Class 10 गणित Q2. एक इंजीनियरिंग के विधार्थी रचेल से एक पतली एल्युमिनियम की शीट का प्रयोग करते हुए एक मॉडल बनाने को कहा गया जो एक ऐसे बेलन के आकार का हो जिसके दोनों सिरों पर दो शंकु जुड़े हुए हों | इसा मॉडल का व्यास 3 cm है और इसकी लंबाई 12 cm है | यदि प्रत्येक शंकु की ऊँचाई 2 cm हो तो रचेल द्वारा बनाए गए मॉडल में अंतर्विष्ट हवा का आयतन ज्ञात कीजिए|

(यह मान लीजिए कि मॉडल की आंतरिक और बाहरी विमाएँ लगभग बराबर है |)

Ex 13.2 Class 10 गणित Q3. एक गुलाबजामुन में उसके आयतन की लगभग 30% चीनी की चाशनी होती है | 45 गुलाबजामुन एक बेलन के आकार का है, जिसके दोनों सिरे अर्धगोलाकार हैं तथा इसकी लंबाई 5  cm और व्यास 2.8 cm है ( देखिए आकृति 13.15) |

सभी 45 गुलाब जामुनों का आयतन = 45(अर्धगोले का आयतन + बेलन का आयतन + अर्धगोले का आयतन)

Ex 13.2 Class 10 गणित Q4. एक कमलदान घनाभ के आकार की एक लकड़ी से बना हा जिसमें कलम रखने के लिए चार शंक्वाकार गड्ढे बने हुए हैं | घनाभ की विमाएँ 15 cm x 10 cm x 3.5 cm हैं | प्रत्येक गड्ढे की त्रिज्या 0.5 cm है और गहराई 1.4 cm है | पुरे कमलदान में लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति 13.16) |

हल :

धनाभ की लंबाई l = 15 cm

घनाभ की चौड़ाई b = 10 cm

घनाभ की ऊँचाई h = 3.5 cm

शंक्वाकार भाग की त्रिज्या (r) = 0.5 cm

ऊँचाई (h) = 1.4 cm

पूरे कमलदान की लकड़ी का आयतन = घनाभ का आयतन – चरों शंक्वाकार गढ्ढे का आयतन

Ex 13.2 Class 10 गणित Q5. एक बर्तन एक उल्टे शंकु के आकार का है | इसकी ऊँचाई 8 cm है और इसके ऊपरी सिरे (जो खुला हुआ है ) की त्रिज्या 5 cm त्रिज्या है | यह ऊपर तक पानी से भरा हुआ है | जब इस बर्तन में सीसे की कुछ गोलियाँ जिनमे प्रत्येक 0.5 cm त्रिज्या वाला एक गोला है, डाली जाती हैं, तो इसमें से भरे हुए पानी का एक चौथाई भाग बाहर निकल जाता है | बर्तन में डाली गई सीसे की गोलियों की संख्या ज्ञात कीजिए |

हल :

शंकु की ऊँचाई (h) = 8 cm

शंकु की त्रिज्या (R) = 5 cm

गोली की त्रिज्या (r) = 0.5 cm

माना बर्तन में डाली गई गोलियों की संख्या = n

अत: गोलियों की संख्या 100 है |

Ex 13.2 Class 10 गणित Q6. ऊँचाई 220 cm और आधार व्यास 24 cm वाले एक बेलन, जिस पर ऊँचाई 60 cm और त्रिज्या 8 cm वाला एक अन्य बेलन आरोपित है, से लोहे का स्तंभ बना है | इस स्तंभ का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, जबकि दिया है 1 cm³ लोहे का द्रव्यमान लगभग 8 g होता है | (π = 3.14 लीजिए |)

हल :

मोटे बेलन की ऊँचाई (H) = 220 cm

व्यास (d) = 24 cm

अत: त्रिज्या (R) = 12 cm

पतले बेलन की ऊँचाई (h) = 60 cm

त्रिज्या (r) = 8 cm

Ex 13.2 Class 10 गणित Q7. एक ठोस में, ऊँचाई 120 cm और त्रिज्या 60 cm वाला एक शंकु सम्मिलित है, जो 60 cm त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर आरोपित है | इस ठोस को पानी से भरे हुए एक लंब वृत्तीय बेलन में इस प्रकार सीधा डाल दिया जाता है कि यह बेलन की तली को स्पर्श करे | यदि बेलन की त्रिज्या 60 cm है और ऊँचाई 180 cm है तो बेलन में शेष बचे पानी का आयतन ज्ञात कीजिए |

हल : 

ठोस के शंकु की ऊँचाई (h) = 120 cm

ठोस के शंकु की त्रिज्या (r) = 60 cm

ठोस के अर्धगोले की त्रिज्या (r) = 60 cm

बड़े बेलन की ऊँचाई (H) = 180 cm

बड़े बेलन की की त्रिज्या (r) = 60 cm

शेष बचे पानी का आयतन = बड़े बेलन का आयतन – ठोस का आयतन

Ex 13.2 Class 10 गणित Q8. एक गोलाकार काँच के बर्तन की एक बेलन के आकार की गर्दन है जिसकी लंबाई 8 cm है और व्यास 2 cm है जबकि गोलाकार भाग का व्यास 8.5 cm है | इसमें भरे जा सकने वाली पानी की मात्रा माप कर, एक बच्चे ने यह ज्ञात किया कि इस बर्तन का आयतन 345 cm³ है | जाँच कीजिए कि बच्चे का उत्तर सही है या नहीं, यह मानते हुए की उपरोक्त मापन आंतरिक मापन है और π = 3.14 |  

हल :

इसमें भरे जा सकने वाले पानी का आयतन = गोले का आयतन + बेलन का आयतन

प्रश्नावली 13.3

(जब तक अन्यथा न कहा जाए,π = 22/7 लीजिए |)

Ex 13.3 Class 10 गणित Q1. त्रिज्या 4.2 cm वाले धातु के एक गोले को पिघलाकर त्रिज्या 6 cm वाले एक बेलन के रूप में ढाला जाता है | बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए |

हल : 

धातु के गोले की त्रिज्या (r) = 4.2 cm

बेलन की त्रिज्या (R) = 6 cm और

माना बेलन की ऊँचाई h cm है |

बेलन का आयतन = गोले का आयतन

Ex 13.3 Class 10 गणित Q2. क्रमशः 6 cm, 8 cm और 10 cm त्रिज्याओं वाले धातु के ठोस गोलों को पिघलाकर एक बड़ा ठोस गोला बनाया जाता है | इस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए |

Ex 13.3 Class 10 गणित Q3. व्यास 7 m वाला 20 m गहरा एक कुआँ खोदा जाता है और खोदने से निकली हुई मिट्टी को समान रूप से फैलाकर 22 m x 14 m वाला एक चबूतरा बनाया गया है | इस चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए |

Ex 13.3 Class 10 गणित Q4. व्यास 3 m वाला 14 m गहरा की गहराई तक खोदा जाता है | इससे निकली हुई मिट्टी को कुँए के चारों ओर 4 m चौड़ी एक वृत्ताकार वलय (ring) बनाते हुए, समान रूप से फैलाकर एक प्रकार का बाँध बनाया जाता है | इस बाँध की ऊँचाई ज्ञात कीजिए |

Ex 13.3 Class 10 गणित Q5. व्यास 12 cm और ऊँचाई 15 cm वाले एक लंब वृत्तीय बेलन के आकार का बर्तन आइसक्रीम से पूरा भरा हुआ है | इस आइसक्रीम को ऊँचाई 12 cm और व्यास 6 cm वाले शकुओं में भरा जाना है, जिनका ऊपरी सिरा अर्धगोलाकार होगा | उन शंकुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जो इस आइसक्रीम से भरे जा सकते हैं |

Ex 13.3 Class 10 गणित Q6. विमाओं 5.5 cm x 10 cm x 3.5 cm वाला एक घनाभ बनाने के लिए, 1.75 cm व्यास और 2 mm मोटाई वाले कितने चाँदी के सिक्कों को पिघलाना पड़ेगा ?

Ex 13.3 Class 10 गणित Q7. 32 cm ऊँची और आधार त्रिज्या 18 cm वाली एक बेलनाकार बाल्टी रेत से भरी हुई है | इस बाल्टी को भूमि पर खाली किया जाता है और इस रेते की एक शंक्वाकार ढेरी बनाई जाती है | यदि शंक्वाकार ढेरी की ऊँचाई 24 cm है, तो इस ढेरी की त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए |

अत: ढेरी की त्रिज्या = 36 cm  और  तिर्यक ऊँचाई = 12√13 cm है |

Ex 13.3 Class 10 गणित Q8. 6 m चौड़ी और 1.5 m गहरी एक नहर में पानी 10 km /h की चाल से बह रहा है | 30 मिनट में, यह नहर कितने क्षेत्रफल की सिंचाई कर पाएगी, जबकि सिंचाई के ल;इए 8 cm गहरे पानी की आवश्यकता होती है |

Ex 13.3 Class 10 गणित Q9. एक किसान अपने खेत में बनी 10 m व्यास वाली और 2 m गहरी एक बेलनाकार टंकी को आंतरिक व्यास 20 cm वाले एक पाइप द्वारा एक नहर से जोड़ता है | यदि पाइप में पानी 3 km/h की चाल से बह रहा है, तो कितने समय बाद टंकी पूरी भर जाएगी ?  

प्रश्नावली 13.4

(जब तक अन्यथा न कहा जाए,π = 22/7 लीजिए |)

Ex 13.4 Class 10 गणित Q1. पानी पीने वाला एक गिलास 14 cm ऊँचाई वाले एक शंकु के छिन्नक के आकार का है | दोनों वृत्ताकार सिरों के व्यास 4 cm और 2 cm हैं | इस गिलास की धारिता ज्ञात कीजिए |

Ex 13.4 Class 10 गणित Q2. एक शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई 4 cm है तथा इसके वृत्तीय सिरों के परिमाप (परिधियाँ) 18 cm और 6 cm हैं | इस छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

Ex 13.4 Class 10 गणित Q3. एक तुर्की टोपी शंकु के एक छिन्नक के आकर की है (देखिये आकृति 13.24) | यदि इसके खुले सिरे की त्रिज्या 10 cm है, ऊपरी सिरे की त्रिज्या 4 cm है टोपी की तिर्यक ऊँचाई 15 cm है तो इसके बनाने में प्रयुक्त पदार्थ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

Ex 13.4 Class 10 गणित Q4. धातु की चादर से बना और ऊपर से खुला एक बर्तन शंकु के छिन्नक के आकार का है, जिसकी ऊँचाई 16 cm है तथा निचले और ऊपरी सिरों की त्रिज्याएँ क्रमशः 8 cm और 20 cm हैं | 20 रू प्रति लीटर की दर से, इस बर्तन को पूरा भर सकने वाले दूध का मूल्य ज्ञात कीजिए | साथ ही, इस बर्तन को बनाने के लिए प्रयुक्त धातु की चादर का मूल्य 8 रू प्रति 100 cm² की दर से ज्ञात कीजिए | ( π = 3.14 लीजिए |) 

Ex 13.4 Class 10 गणित Q5. 20 cm ऊँचाई और शीर्ष कोण (vertical angle ) 60^o  एक शंकु को उसकी ऊँचाई के बीचोंबीच से होकर जाते हुए एक ताल से दो भागों में काटा गया है, जबकि ताल शंकु के आधार के समांतर है | यदि इस प्राप्त शंकु के छिन्नक को व्यास 1/16 cm वाले एक तार के रूप में बदल दिया जाता है तो की लंबाई ज्ञात कीजिए | 

प्रश्नावली 13.5

Ex 13.5 Class 10 गणित Q1. व्यास 3 mm वाले ताँबे के तार को 12 cm लंबे और 10 cm व्यास वाले एक बेलन पर इस प्रकार लपेटा जाता है वह बेलन के वक्र पृष्ठ को पूर्णतया ढक लेता है | तार की लंबाई और द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, यह मानते हुए कि ताँबे का घनत्व 8.88 g प्रति cm³ है |

Ex 13.5 Class 10 गणित Q2. एक समकोण त्रिभुज, जिसकी भुजाएँ 3 cm और 4 cm हैं (कर्ण के अतिरिक्त ), को उसके कर्ण के परितः घुमाया जाता है | इस प्रकार प्राप्त द्वी -शंकु (double cone) के आयतन और पृष्ठीय  क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

Ex 13.5 Class 10 गणित Q3. एक टंकी, जिसके आंतरिक मापन 150 cm x 120 cm x 110 cm हैं, में 129600 cm³ पानी में कुछ छिद्र वाली ईंटे तब तक डाली जाती हैं, जब तक कि ताकि पूरी ऊपर तक भर न जाए | प्रत्येक ईंट अपने आयतन का   1/17 पानी सोख लेती है | यदि प्रत्येक ईंट की माप 22.5 cm x 7.5 cm x 6.5 cm हैं, तो टंकी में कुल कितनी ईंटे डाली जा सकती हैं, ताकि उसमें से पानी बाहर न बहे ?

Ex 13.5 Class 10 गणित Q4. किसी महीने के 15 दिनों में, एक नदी की घाटी में 10 cm वर्षा हुई | यदि इस घाटी का क्षेत्रफल 97280 km² है, तो दर्शाइए कि कुल वर्षा लगभग तीन नदियों के सामान्य पानी के योग के समतुल्य थी, जबकि प्रत्येक नदी 1072 km लंबी, 75 m चौड़ी और 3 m गहरी है |

Ex 13.5 Class 10 गणित Q5. टीन की बनी हुई एक तेल की कुप्पी 10 cm लंबे एक बेलन में एक शंकु के छिन्नक को जोड़ने से बनी है | यदि इसकी कुल ऊँचाई 22 cm है, बेलनाकार भाग का व्यास 8 cm है और कुप्पी के ऊपरी सिरे का व्यास 18 cm है, तो इसके बनाने में लगी टीन की चादर का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति 13.25) |

Ex 13.5 Class 10 गणित Q6. शंकु के एक छिन्नक के लिए, पूर्व स्पष्ट किए संकेतों का प्रयोग करते हुए, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल के उन सूत्रों को सिद्ध कीजिए, जो अनुच्छेद 13.5 में दिए गए हैं |

Ex 13.5 Class 10 गणित Q7. शंकु के एक छिन्नक के लिए, पूर्व स्पष्ट किए संकेतों का प्रयोग करते  हुए, आयतन का वह सूत्र कीजिए, जो अनुच्छेद 13.5 में दिया गया है |

Hope given NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 13 are helpful to complete your homework.

प्रश्नावली 5.1

Ex 5.1 Class 10 गणित Q1. निम्नलिखित स्थितयों में से किन स्थितयों में संबद्ध संख्याओं की सूची A.P है और क्यों?

(1) प्रत्येक किलों मीटर के बाद टैक्सी का किराया, जबकि प्रथम किलो मीटर के लिए किराया 15  रुo है और प्रत्येक अतिरिक्त किलो मीटर के लिए किराया 8 रुo है |

Solution:

प्रथम किलोमीटर का किराया = 15 रुपये |

अतिरिक्त किलोमीटर का किराया = 8 रुपये

श्रृंखला : 15, 23, 31, 39 …………………………..

जाँच:

a = 15

d₁ = a₂ – a₁

= 23 – 15 = 8

d₂ = a₃ – a₂

= 31 – 23 = 8

d₃ = a₄ – a₃

= 39 – 31 = 8

चूँकि सभी अंतरों का अंतर सामान है अर्थात सार्वअंतर = 8 है |

इसलिए दिया गया सूची A. P है |

(ii) किसी बेलन (cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पम्प प्रत्येक बार बेलन की हवा का ¼ भाग बाहर निकाल देता है |

Solution:

माना बेलन में हवा की मात्रा 1 है |

(iii) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुआं खोदने में आई लागत, जबकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत 150 रुo है और बाद में प्रत्येक खुदाई की लागत 50 रुo बढ़ती जाती है |

Solution:

प्रथम मीटर का लागत = 150,

दुसरे मीटर खुदाई की लागत = 150 + 50 = 200

तीसरे मीटर खुदाई की लागत = 200 + 50 = 250

श्रृंखला : 150, 200, 250, 300 ………………………

जाँच:

a = 150

d₁ = a₂ – a₁

= 200 – 150 = 50

d₂ = a₃ – a₂

= 250 – 200 = 50

d₃ = a₄ – a₃

= 300 – 250 = 50

सार्व अंतर = 50

यहाँ सार्व अंतर समान है इसलिए यह श्रृंखला A.P है |

(iv) खाते में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन, जबकि 10000 रुo की राशि 8 % वार्षिक की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है |

Solution:

पहले वर्ष की राशि = 10000

तीसरे वर्ष की राशि = 11664

श्रृंखला: 10000, 10800, 11664 …………………

स्पष्ट है कि इस श्रृंखला का सार्व अंतर समान नहीं है अत: A.P नहीं है |

Ex 5.1 Class 10 गणित Q2. दी हुई A.P के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद a और सार्व अंतर d निम्नलिखित हैं :

(i)  a = 10, d = 10

Solution:

a = 10

a₂ = a + d ⇒ 10 + 10 = 20

a₃ = a + 2d ⇒ 10 + 2 × 10 = 30

a₄ = a + 3d ⇒ 10 + 3 × 10 = 40

श्रृंखला: 10, 20, 30, 40 ………………….

प्रथम चार पद : 10, 20, 30 और 40

(ii) a = –2, d = 0

Solution:

a = –2

a₂ = a + d ⇒ –2 + 0 = –2

a₃ = a + 2d ⇒ –2 + 2 × 0 = –2

a₄ = a + 3d ⇒ –2 + 3 × 0 = –2

श्रृंखला: –2, –2, –2, –2 ………………….

प्रथम चार पद : –2, –2, –2 और –2

(iii) a = 4, d = – 3

Solution:

a = 4

a₂ = a + d ⇒ 4 + – 3 = 1

a₃ = a + 2d ⇒ 4 + 2 × – 3 = –2

a₄ = a + 3d ⇒ 4 + 3 × – 3 = –5

श्रृंखला: 4, 1, – 3, –5 ………………….

प्रथम चार पद : 4, 1, – 3 और –5

(v) a = – 1.25, d = – 0.25

Solution:

a = – 1.25

a₂ = a + d ⇒ – 1.25 + – 0.25 = – 1.5

a₃ = a + 2d ⇒ – 1.25 + 2 × – 0.25 = –1.75

a₄ = a + 3d ⇒ – 1.25 + 3 × – 0.25 = –2

श्रृंखला: – 1.25, – 1.5, –1.75, –2 ………………….

प्रथम चार पद : – 1.25, – 1.5, –1.75 और –2

Ex 5.1 Class 10 गणित Q4. निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P हैं? यदि कोई A.P है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इनके तीन पद लिखिए |

(i) 3, 1, – 1, – 3, . . .

Solution:

d₁ = a₂ – a₁

= 1 – 3 = – 2

d₂ = a₃ – a₂

= -1 – (1) = – 2

d₃ = a₄ – a₃

= -3 – (-1) = -3 + 1 = – 2

सार्व अंतर = – 2

चूँकि सार्व अंतर समान है इसलिए यह A.P है |

इनके अगले तीन पद हैं :

a₅ = a + 4d = 3 + 4×(- 2) = 3 – 8 = – 5

a₆ = a + 4d = 3 + 5×(- 2) = 3 – 10 = – 7

a₇ = a + 4d = 3 + 6×(- 2) = 3 – 12 = – 9

– 5, – 7, – 9

(iii) – 1.2, – 3.2, – 5.2, – 7.2, . . .

Solution:

a = – 1.2

d₁ = a₂ – a₁

= –3.2 – (–1.2 )

= – 3.2 + 1.2 =  – 2

d₂ = a₃ – a₂

= –5.2 – (–3.2 )

= – 5.2 + 3.2 =  – 2

d₃ = a₄ – a₃

= –7.2 – (–5.2 )

= – 7.2 + 5.2 =  – 2

सार्व अंतर = – 2

चूँकि सार्व अंतर समान है इसलिए यह A.P है |

इनके अगले तीन पद हैं :

a₅ = a + 4d = – 1.2  + 4×(- 2) = – 1.2 – 8 = – 9.2

a₆ = a + 4d = – 1.2  + 5×(- 2) = – 1.2  – 10 =  – 11.2

a₇ = a + 4d = – 1.2  + 6×(- 2) = – 1.2  – 12 = – 13.2

⇒ – 9.2, – 11.2, – 13.2

(iv) – 10, – 6, – 2,  2, . . .

Solution:

a = – 10

d₁ = a₂ – a₁

= –6 – (–10 )

= – 6 + 10 =  4

d₂ = a₃ – a₂

= –2 – (–6 )

= – 2 + 6 =  4

d₃ = a₄ – a₃

= 2 – (–2 )

= 2 + 2 =  4

सार्व अंतर = 4

चूँकि सार्व अंतर समान है इसलिए यह A.P है |

इनके अगले तीन पद हैं :

a₅ = a + 4d = – 10 + 4×(4) = – 10 + 16 = 6

a₆ = a + 4d = – 10 + 5×(4) = – 10 + 20 =  10

a₇ = a + 4d = – 10 + 6×(4) = – 10 + 24 = 14

⇒ 6, 10, 14

प्रश्नावली 7.1 

Ex 7.1 Class 10 गणित Q1. बिन्दुओं के निम्नलिखित युग्मों के बीच की दूरियाँ ज्ञात कीजिए :

(i) (2,3),(4,1)

(ii) (-5,7), (-1,3)

(iii) (a,b), (-a,-b)

Ex 7.1 Class 10 गणित Q2. बिन्दुओं (0,0) और (36,15) के बीच की दुरी ज्ञात कीजिए | क्या अब आप अनुच्छेद 7.2 में दिए दोनों शहरों A और B के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं ?

Ex 7.1 Class 10 गणित Q3. निर्धारित कीजिए की क्या बिन्दु (1,5), (2,3) और (-2,-11) सरेंखी हैं|

Ex 7.1 Class 10 गणित Q4. जाँच कीजिए कि क्या बिन्दु (5,-2), (6,4) और (7, -2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं |

Ex 7.1 Class 10 गणित Q5. किसी कक्षा में. चार मित्र बिन्दुओं A,B,C और D पर बैठे हुए हैं, जैसाकि आकृति 7.8 में दर्शाया गया है | चंपा और चमेली कक्षा के अन्दर आती हैं और कुछ मिनट तक देखने तक के बाद, चंपा चमेली से पूछती है, ‘क्या तुम नहीं सोचती हो कि ABCD एक वर्ग है ?’ चमेली इससे सहमत नहीं है ?’ दूरी सूत्र का प्रयोग करके, बताइए कि इनमें कौन सही है |

Ex 7.1 Class 10 गणित Q6. निम्नलिखित बिन्दुओं द्वारा बनने वाले चर्तुभुज का प्रकार (यदि कोई है तो) बताइए तथाअपने उतर के लिए करण भी दीजिए :

(i) (– 1, – 2), (1, 0), (– 1, 2), (– 3, 0)

(ii) (–3, 5), (3, 1), (0, 3), (–1, – 4)

(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)

हल :

(i) (– 1, – 2), (1, 0), (– 1, 2), (– 3, 0)

माना बिन्दुएँ A(– 1, – 2), B(1, 0), C(– 1, 2), तथा D(– 3, 0) हैं |

इसी प्रकार,

बिन्दुएँ A(– 1, – 2), B(1, 0), C(– 1, 2), तथा D(– 3, 0)बनने वाला चर्तुभुज वर्ग हैं | क्योंकि इन बिन्दुओं बनने वाले चर्तुभुज की भुजा बराबर है अर्थात AB = BC = CD = AD हैं |

हल : (ii)(–3, 5), (3, 1), (–1, – 4)

माना बिन्दुएँ A(–3, 5), B(3, 1), C(0, 3), तथा D(–1, – 4) हैं |

इसी प्रकार दुरी सूत्र से,

बिन्दु A(–3, 5), B(3, 1), C(0, 3), तथा D(–1, – 4) से बनने वाला चर्तुभुज एक विषमबाहु चर्तुभुज हैं | क्योंकि इन बिन्दुओं से बनने वाले चर्तुभुज की भुजा बराबर नहीं है और किसी भी चर्तुभुज के गुण के सामान नहीं है,

हल : (iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3),

माना बिन्दुएँ A(4, 5), B(7, 6), C(4, 3), तथा D(1, 2)हैं |

इसी प्रकार,

बिन्दु A(4, 5), B(7, 6), C(4, 3), तथा D(1, 2)से बनने वाला चर्तुभुज आयात तथा समांतर चर्तुभुज हैं |क्योंकि इन बिन्दुओं से बनने वाले चर्तुभुज की दो भुजाओं के युग्म बराबर है,

Ex 7.1 Class 10 गणित Q7. x- अक्ष मान पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जो (2,-5) और (-2,9) से समदूरस्थ हैं|

हल : माना A(2, –5), B(–2, 9), तथा X-अक्ष पर बिंदु P(x, 0), हैं |

अत: AP² = BP² (चूँकि A तथा B बिंदु P से समदूरस्थ है)

अत: X-अक्ष पर बिंदु P (-7, 0) है |

Ex 7.1 Class 10 गणित Q8. y का वह मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए बिन्दु P(2,-3) और Q(10,y ) के बीच की दुरी 10 मात्रक है |

हल : बिंदु P(2, – 3) और Q(10, y) हैं तथा दोनों बिन्दुओं का मात्रक 10 हैं |

दोनों तरफ वर्ग करने पर,
10² = (10 – 2)² + (y + 3)²

100 = 8² + y² + 6y + 9

100 = 64 + y² + 6y + 9

100 = 73 + y² + 6y

100 – 73 = y² + 6y

y² + 6y = 27

y² + 6y – 27 = 0

y² + 9y – 3y – 27 = 0

y(y + 9) – 3(y + 9) = 0

(y + 9) (y – 3) = 0

y + 9 = 0 तथा y – 3 = 0

अत: y = -9 तथा y = 3

अतः y का एक मान 3 तथा -9 हैं |

Ex 7.1 Class 10 गणित Q9. यदि Q(0,1) बिन्दुओं P(5,-3) और R(x,6) से समदूरस्थ है, तो x के मान ज्ञात कीजिए | दुरियाँ QR और PR भी ज्ञात कीजिए |

हल : बिन्दु Q(0, 1), P(5, –3) और R(x, 6)से समदूरस्थ हैं |

Ex 7.1 Class 10 गणित Q10. x और y में एक ऐसा संबध ज्ञात कीजिए कि बिन्दु (x, y) बिन्दुओं (3, 6) और (-3, 4) से समदूरस्थ हो |

हल : माना बिदुएँ P(x, y) तथा A(3, 6) और B(-3, 4)

AP तथा BP समदूरस्थ हैं |

इसलिए,  AP = BP

दोनों तरफ वर्ग करने पर

AP² = BP²

(x – 3)² + (y – 6)² = (x + 3)² + (y – 4)²

x² – 6x + 9 + y² – 12y + 36 = x² + 6x + 9 + y² – 8y + 16

-6x – 12y + 36 = 6x – 8y + 16

36 – 16 = 6x + 6x – 8y +  12y

20 = 12x + 4y

12x + 4y = 20

4(3x + y) = 20

3x + y =

3x + y = 5

3x + y – 5 = 0

प्रश्नावली 7.2

Ex 7.2 Class 10 गणित Q1. उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो बिन्दुओं (-1,7) और (4,-3) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2:3 के अनुपात में विभाजित करता है |

Ex 7.2 Class 10 गणित Q2. बिन्दुओं (4,-1) और (-2,-3) को जोड़ने वाले रेखाखंड को सम त्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए |

Ex 7.2 Class 10 गणित Q3. आपके स्कूल में खेल -कूद  क्रियाकलाप आयोजित करने के लिए, एक आयताकार मैदान ABCD में, चुने से परस्पर 1m की दुरी पर पंक्तियाँ बनाई गई हैं | AD के अनुदिश परस्पर 1m की दुरी पर 100 गमले रखे हैं, जैसा कि आकृति 7.12 में दर्शाया गया है | निहारिका दूसरी पंक्ति में AD के 1/4 भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक हरा झंडा गाड़ देती है |प्रीत आठवीं पंक्ति में AD के 1/5 भाग के बराबर की दूरी दौडती है और वहाँ एक लाल झंडा गाड देती है दोनों झंडों के बीच की दूरी क्या है? यदि रश्मि को एक नीला झंडा इन दोनों झंडों को मिलाने वाले रेखाखंड पर ठीक आधी दूरी ( बीच में) पर गाड़ना हो तो उसे अपना झंडा कहाँ गाड़ना चाहिए ?

Ex 7.2 Class 10 गणित Q4. बिन्दुओं (-3,10) और (6,-8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को बिन्दु (-1,6) किस अनुपात में विभाजित करता है|

Ex 7.2 Class 10 गणित  Q5. वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिन्दुओं A(1,-5) और B(-4,5) को मिलाने वाला रेखाखंड x- अक्ष से विभाजित होता है| इस विभाजन बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए |

Ex 7.2 Class 10 गणित Q6. यदि बिन्दु (1,2),(4,y),(x,6) और (3,5), इसी क्रम में लेने पर, एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हो तो x और y ज्ञात कीजिए |

Ex 7.2 Class 10 गणित Q7. बिन्दु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है जिसका केंद्र (2,-3) है तथा B के निर्देशांक (1,4) हैं|

Ex 7.2 Class 10 गणित Q8. यदि A और B क्रमशः (-2,-2) और (2,-4) हो तो बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि AP = 3/7 AB हो और P रेखाखंड AB पर स्थित हो |

Ex 7.2 Class 10 गणित Q9.बिन्दुओं A(-2,2) और B(2,8) को जोड़ने वाले रेखाखंड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए |

Ex 7.2 Class 10 गणित Q10. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (3,0), (4,5), (-1,4) और (-2,-1) हैं)

प्रश्नावली 7.3
Ex 7.3 Class 10 गणित प्र. 1. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष हैं:
(i) (2, 3), (-1, 0), (2, -4)
(ii) (-5, -1), (3, -5), (5, 2)

Ex 7.3 Class 10 गणित प्र. 2. निम्नलिखित में से प्रत्येक में ‘4’ का मान ज्ञात कीजिए, ताकि तीनों बिंदु संरेखी हों|
(i) (7, -2), (5, 1), (3, k)
(ii) (8, 1), (k, -4), (2, -5)

Ex 7.3 Class 10 गणित प्र. 3. शीर्षों (0, -1), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ। अनुपात ज्ञात कीजिए।

Ex 7.3 Class 10 गणित प्र. 4. उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (-4, -2), (-3, -5), (3, -2) और (2, 3) हैं।

Ex 7.3 Class 10 गणित प्र. 5. कक्षा IX में आपने पढ़ा है (अध्याय 9, उदाहरण 3) कि किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। उस त्रिभुज ABC के लिए इस परिणाम का सत्यापन कीजिए जिसके शीर्ष A (4, -6), B (3, -2) और C (5, 2) हैं।

प्रश्नावली 7.4
Ex 7.4 Class 10 गणित Q1. बिन्दुओं A(2,-2) और B(3,7) को जोड़ने वाले रेखाखंड को रेखा 2x + y – 4 = 0 जिस अनुपात में विभाजित करती है उसे ज्ञात कीजिए |
हलः माना दिए गये बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड AB को रेखा 2x + y – 4 = 0 बिन्दु C पर है k : 1 के अनुपात में विभाजित करती है।

Ex 7.4 Class 10 गणित Q2. x और y में एक संबंध ज्ञात कीजिए, यदि बिउंदु (x,y), (1,2) और (7,0) सरेंखी हैं|

Ex 7.4 Class 10 गणित Q3.बिन्दुओं (6,-6),(3,7) और (3,3) से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र ज्ञात कीजिए |

Ex 7.4 Class 10 गणित Q4. किसी वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (-1,2) और (3,2) हैं) वर्ग के अन्य दोनों शीर्ष ज्ञात कीजिए |

Ex 7.4 Class 10 गणित Q5. कृष्णा नगर के एक सेकेंडरी स्कूल के कक्षा X के विधार्थियों को उनके बागवानी क्रियाकलाप के लिए, एक आयताकार भूखंड दिया गया है | गुलमोहर की पौध को परस्पर 1m की दूरी पर इस भूखंड की परिसीमा (boundary) पर लगाया जाता है | इस भूखंड के अन्दर एक त्रिभुजाकार घास लगा हुआ लॉन (lawn) है, जैसाकि आकृति 7.14 में दर्शाया गया है | विधार्थियों को भूखंड के शेष भाग में फूलों के पौधे के बीज बोने हैं |

(i) A को मूलबिंदु मानते हुए, त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए |

(ii) यदि मूलबिंदु C हो, त्रिभुज PQR के निर्देशांक क्या होंगे | साथ ही, उपरोक्त दोनों स्थितियों में, त्रिभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए | आप क्या देखते हैं ?

हलः (i) A को मूल बिन्दु (origin) और AD तथा AB के निर्देशांक अक्ष लेने पर हमें प्राप्त होता है कि
P के निर्देशांक (4, 6), Q के निर्देशांक (3, 2), R के निर्देशांक (6, 5) ΔPQR के शीर्ष हैं।
(ii) बिन्दु C के मूल बिन्दु और CB तथा CD को निर्देशांक-अक्ष लेने पर ΔPQR के शीर्षों के निर्देशांक हैं:
P (12, 2), Q (13, 6) और R (10, 3)
अब, क्षे. (ΔPQR) [जबकि P(4, 6), Q(3, 2) और R(6, 5) हैं]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [4 (2 – 5) + 3 (5 – 6) + 6 (6 – 2)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-12 – 3 + 24] = \(\frac { 9 }{ 2 }\) वर्ग इकाई
क्षे. (ΔPQR)
[जब P(12, 2), २(13, 6) और R(10, 3) हैं]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [12 (6 – 3) + 13 (3 – 2) + 10 (2 – 6]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [36 + 13 – 40] = \(\frac { 9 }{ 2 }\) वर्ग इकाई
इस प्रकार, दोनों अवस्थाओं में ΔPQR का क्षेत्रफल एक ही है।

Ex 7.4 Class 10 गणित Q6. एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A(4,6), B(1,5) और C(7,2) हैं | भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E पर प्रतिच्छेद करते हुए एक रेखा इस प्रकार खींची गई है की AD/AB  AE/AC  1/4 है | त्रिभुज ADE का क्षेत्रफल परिकलित कीजिए और इसकी तुलना त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल से कीजिए |     

Ex 7.4 Class 10 गणित Q7. मान लीजिए A (4,2), B(6,5) और C(1,4) एक त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं |

(i) A से होकर जाने वाली माध्यिका BC से D पर मिलती है | बिन्दु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए|

(ii) AD पर स्थित ऐसे बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए की AP : PD = 2:1 हो |

(iii) माध्यिकाओं BE और CF पर ऐसे बिन्दुओं Q और R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए की BQ : QE = 2 : 1 हो और CR : RF = 2 : 1 हो |

(iv) आप क्या देखते हैं ?

[नोट : वह बिन्दु जो तीनों माध्यिकाओं में सार्वनिष्ठ हो, उस त्रिभुज का केन्द्रक (centroid) कहलाता है और यह प्रत्येक माध्यिका को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है |]

(v) यदि A(x₁ y₁ )₂  B(X₂ y₂ ) और C(x₃ y₃) त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं, तो इस त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक ज्ञात कीजिए |

Ex 7.4 Class 10 गणित Q8. बिन्दुओं A(-1,-1), B(-1,4), C(5,4)  और D(5,-1) से एक आयात ABCD बनता है| PQR और S क्रमशः भुजाओं AB,BC,CD और DA के मध्य बिन्दु हैं | क्या चतुर्भुज PQRS एक वर्ग है? क्या यह एक आयत है ? क्या यह एक समचतुर्भुज है ? सकारण उत्तर दीजिए |

Hope given NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 7 are helpful to complete your homework.