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NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium)

These Solutions are part of NCERT Solutions for Class 10 Maths in Hindi Medium. Here we have given NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables.

Chapter 3. दो चरों वाले रखिक समीकरणों का युग्म

प्रश्नावली 3.1 

Ex 3.1 Class 10 गणित Q1. आफ़ताब अपनी पुत्री से कहता है, ‘सात वर्ष पूर्व मैं तुमसे सात गुनी आयु का था | अब से 3 वर्ष बाद मैं तुमसे केवल तीन गुनी आयु का रह जाऊँगा |’ (क्या यह मनोरंजक है?) इस स्थिति को बीजगणितीय एवं ग्राफीय रूपों में व्यक्त कीजिए |

हल : 

माना आफ़ताब की वर्त्तमान आयु = x वर्ष

और उसकी पुत्री की वर्त्तमान आयु = y वर्ष

7 वर्ष पूर्व आफ़ताब की आयु = x – 7 वर्ष

और उसकी पुत्री की आयु = y – 7 वर्ष

स्थित – I

x – 7 = 7(y – 7)

x – 7 = 7y – 49

x – 7y = 7 – 49

x – 7y = – 42   ……… (1)

3 वर्ष बाद आफ़ताब की आयु = x + 3 वर्ष

और उसकी पुत्री की आयु = y + 3 वर्ष

स्थित – II

x + 3 = 3(y + 3)

x + 3 = 3y + 9

x – 3y = 9 – 3

x – 3y = 6 ……. (2)

बीजगणितीय रूप में :

x – 7y = – 42   ……… (1)

x – 3y = 6 ……. (2)

​ग्राफीय रूप में प्रदर्शन:

x – 7y = – 42

x = – 42 + 7y

x – 3y = 6

x = 6 + 3y

Ex 3.1 Class 10 गणित Q2. क्रिकेट टीम के एक कोच ने 3900 रू में 3 बल्ले तथा 6 गेंदे खरीदी | बाद में उसने एक और बल्ला तथा उसी प्रकार की 2 गेंदे 1300 रू में खरीदीं | इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए |

हल : माना एक बल्ले का मूल्य = x रुपये

और एक गेंद का मूल्य = y रुपये

अत: बीजगणितीय निरूपण

3x + 6y = 3900 ………. (1) और

x + 2y = 1300 ………. (2)

समी० (1) से

3x + 6y = 3900

3(x + 2y) = 3990

या x + 2y = 1300

x = 1300 – 2y

इसी प्रकार समी० (2) से

x + 2y = 1300

x = 1300 – 2y

ग्राफीय निरूपण 

Ex 3.1 Class 10 गणित Q3. 2kg सेब और 1 kg अंगूर का मूल्य किसी दिन 160 रू था | एक महीने बाद 4 kg सेब और दो kg अंगूर का मूल्य 300 रू हो जाता है |इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए |   

हल : माना एक किलों सेब का मूल्य = x रुपया

और एक किलो अंगूर का मूल्य = y रुपया

अत: बीजगणितीय निरूपण :

2x + y = 160  ……… (1)

4x + 2y = 300 …….. (2)

ग्राफीय निरूपण : 

समी० (1) से

2x + y = 160

y = 160 – 2x

अब समी० (2) से

4x + 2y = 300

या 2x + y = 150

y = 150 – 2x

प्रश्नावली 3.2 

Ex 3.2 Class 10 गणित Q1. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए |

(i) कक्षा x के 10 विधार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया | यदि लड़कियों की संख्या लड़कों से 4 अधिक हो, तो प्रतियोगिता में भाग लिए लडको और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए |

हल :

माना लड़कियों की संख्या = x

तथा लड़कों की संख्या = y

प्रश्नानुसार,

लड़के और लडकियाँ की कुल संख्या 10 है |

इसलिए,  x + y = 10  …….. (1)

लड़कों से लड़कियाँ 4 अधिक हैं |

इसलिए,  x – y = 4  …….. (2)

समी० (1) के लिए तालिका

x + y = 10

⇒ x = 10 – y

समी० (2) के लिए तालिका

x – y = 4

⇒ x = 4 + y

ग्राफीय विधि से हल के लिए हम जब बने ग्राफ को देखते हैं तो पाते हैं कि बिंदु (7, 3) दिए गए समीकरण के लिए प्रतिच्छेदन बिंदु है जो कि रैखिक समीकरण युग्म का उभयनिष्ठ हल है |

इसलिए, लड़कियों कि संख्या = 7 और लड़कों की संख्या = 3 है |

(ii) 5 पेंसिल तथा 7 कलमों का कुल मूल्य 50 रू. है, जबकि 7 पेंसिल तथा 5 कलमों का कुल मूल्य 46 रू. है | एक पेंसिल का मूल्य तथा एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए |

हल :

माना एक पेन्सिल का मूल्य = x रू०

और एक कलम का मूल्य = y रू०

प्रश्नानुसार,

5x + 7y = 50 ……… (1) और

7x + 5y = 46  ……..(2)

समी० (1) से

5x + 7y = 50

⇒ 5x = 50 – 7y

ग्राफीय विधि से हल के लिए हम जब बने ग्राफ को देखते हैं तो पाते हैं कि बिंदु (3, 5) दिए गए समीकरण के लिए प्रतिच्छेदन बिंदु है जो कि रैखिक समीकरण युग्म का उभयनिष्ठ हल है |

इसलिए, पेन्सिल का मूल्य = 3 और कलम का मूल्य = 5 है |

(i) 5x – 4y +8 = 0             

   7x + 6y – 9 = 0  

(ii) 9x +3y + 12 = 0               

   18x + 6y + 24 = 0

(iii) 6x – 3y + 10 = 0 

    2x – y + 9 = 0

हल : 

(ii) 9x + 3y + 12 = 0 

    18x + 6y + 24 = 0

हल :  

(iii) 6x – 3y + 10 = 0 

      2x – y + 9 = 0

a₁ = 6, b₁ = -3, c₁ = 10

a₂ = 2, b₂ = -1, c₂ = 9

हल : 

(i) 3x + 2y = 5;  2x – 3y = 7      

a₁ = 3, b₁ = 2, c₁ = 5

a₂ = 2, b₂ = -3, c₂ = 7

हल : 

(ii) 2x – 3y = 8;  4x – 6y = 9

a₁ = 2, b₁ = -3, c₁ = 8

a₂ = 4, b₂ = -6, c₂ = 9

Ex 3.2 Class 10 गणित Q4. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से कौन से युग्म संगत /असंगत है, यदि संगत है तो ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए |

(i) x+y = 5,   2x +2y = 10

(ii) x – y = 8,  3x – 3y = 16

(iii) 2x + y -6 = 0, 4x- 2y – 4 = 0

(iv) 2x – 2y- 2 = 0, 4x – 4y – 5 = 0 

हल : 

Ex 3.2 Class 10 गणित Q5. एक आयताकार बाग़ जिसकी लंम्बाई, चौड़ाई से 4m अधिक है, का अर्धपरिमाप 36m है | बाग़ की विमाएँ ज्ञात कीजिए |

हल : माना आयताकार बाग की लंबाई = x m

और  चौड़ाई = y m है |

अर्धपरिमाप = 36 m

अत: बाग की लंबाई = 20 मीटर

और चौड़ाई = 16 मीटर

Ex 3.2 Class 10 गणित Q6. एक रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0 दी गई है | दी चरों में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण जैसा कि 

(i) प्रतिछेद करती रेखाएँ हों |           (ii) समांतर रेखाएँ हों|

(iii) संपाती रेखाएँ हों |

हल : 2x + 3y – 8 = 0  ………… (i)  (दिया है)

हमें एक और ऐसी ही रैखिक समीकरण खींचना है जिससे प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण

(i) प्रतिच्छेद करती रेखाए हो

रेखाए प्रतिच्छेद करती हो इसके लिए

Ex 3.2 Class 10 गणित Q7. समीकरणों x – y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0 का ग्राफ खींचिए | x- अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए |

हल :

x – y + 1 = 0   …………. (i)

3x + 2y – 12 = 0 ………….(ii)

समीकरण (i) से

x – y + 1 = 0

या y = x + 1

अब x का मान 0, 1 और 2 रखने पर y का मान क्रमश: 1, 2 और 3 प्राप्त होता है जिसकी तालिका निम्न है –

अब इसमें x का मान 0, 2 और 4 रखने पर y का मान क्रमश: 6, 3 और 0 प्राप्त होता है जिसकी तालिका निम्न है |

प्रश्नावली 3.3

Ex 3.3 Class 10 गणित Q1. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए :

हल Q1:

(i) x + y = 14  ………… (i)

   x – y = 4    ………… (ii)

प्रतिलोपन विधि से

समीकरण (ii) से

x – y = 4

x = 4 + y

अब समीकरण (i) में x का मान 4 + y रखने पर

x + y = 14

या (4 + y) + y = 14

या 4 + 2y = 14

या 2y = 14 – 4

अत: दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल है –

x = 2 और y = 3 

Ex 3.3 Class 10 गणित Q2. 2x + 3y = 11 और 2x – 4y = -24 को हल कीजिए और इसमें ‘m’ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y = mx + 3 हो |

हल :

2x + 3y = 11 …………. (i)

2x – 4y = – 24 ……….. (ii)

समीकरण (i) से

2x + 3y = 11

अब m का मान प्राप्त करने के लिए x और y का मान y = mx + 3 में रखने पर

Ex 3.3 Class 10 गणित Q3. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए :

(i) दो संख्याओं का अन्तर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है | उन्हें ज्ञात कीजिए |

हल : माना पहली संख्या x और दूसरी संख्या y है |

तो प्रश्नानुसार,

स्थिति (I)

x – y = 26 …………. (i)

स्थिति (II)

x = 3y     …………. (ii)

अब समीकरण (i) में x = 3y रखने पर

x – y = 26

(ii) दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है | उन्हें ज्ञात कीजिए |

हल :

माना दो संपूरक कोणों में से बड़ा कोण x है

और छोटा कोण y है |

अत: स्थिति (II)

x – y = 18°  …………… (i)

x + y = 180°  ……….. (ii)

(संपूरक कोणों का योग 180° होता है |)

अब समीकरण (i) से

x – y = 18°

(iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदे 3800 रू. में खरीदी | बाद में, उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें 1750 रू. में खरीदी | प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए|

हल :

माना एक बल्ले का मूल्य x रुपये

और एक गेंद का मूल्य y रुपये है |

स्थित I

7 बल्ले + 6 गेंद = 3800

अत: एक बल्ले का मूल्य 500 रुपया है और एक गेंद का मूल्य 50 रुपया है |

(iv) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दुरी पर भाडा सम्मिलित किया जाता है | 10 km दुरी के लिए 105 रू है तथा 15 km के लिए भाडा 155 रू है | नियत भाडा तथा प्रति km भाडा ज्ञात कीजिए और एक व्यक्ति को 25 km यात्रा करने के लिए कितना भाडा देना होगा?

हल : माना टैक्सी का नियत भाडा x रुपया है |

और प्रत्येक अतिरिक्त प्रति किलोमीटर के लिए भाडा y रुपया है |

स्थिति I

x + 10y = 105 ……….. (i)

स्थिति II

x + 15y = 155 ………… (ii)

समीकरण (i) से

x + 10y = 105

अत: नियत भाडा 5 रुपया और अतिरिक्त किराया 10 रुपया है |

25 km के लिए भाडा = x + 25y

= 5 + 25(10)

= 5 + 250

= 255 रुपये

(vi) पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी | पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की सात गुनी थी | उनकी वर्तमान आयु क्या है?   

हल : माना जैकब की वर्त्तमान आयु x वर्ष है |

और उसके पुत्र की वर्त्तमान आयु y वर्ष है |

स्थिति I

पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु = x + 5 वर्ष

और उसके पुत्र की आयु = y + 5 वर्ष

अत: x + 5 = 3(y + 5)

अत: जैकब की वर्त्तमान आयु 40 वर्ष और उसके पुत्र की वर्त्तमान आयु 10 वर्ष है |

प्रश्नावली 3.4 

Ex 3.4 Class 10 गणित Q1. निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापना विधि से हल कीजिए | कौन सी विधि अधिक उपयुक्त है ? 

(i) x + y = 5 और 2x – 3y = 4      

(ii) 3x + 4y = 10 और 2x – 2y = 2

(iii) 3x – 5y – 4 = 0 और 9x = 2y + 7

अत: दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल है x = 2 और y = 1 ​

हल :(iii) 3x – 5y – 4 = 0

या       3x – 5y = 4 ……… (i)

9x = 2y + 7

या       9x – 2y + 7

अत: दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल है x = 2 और y = – 3

Ex 3.4 Class 10 गणित Q2. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए) :

(यहाँ समीकरण (i) और (ii) में y के गुणांक पहले ही से बराबर है इसलिए इन्हें बराबर करने की जरुरत नहीं है |)

अब समीकरण (i) में से (ii) घटाने पर

(ii) पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की तीन गुनी थी | दस वर्ष पश्चात्, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी नूरी और सोनू की आयु में कितनी है ?

हल : माना नूरी की आयु x वर्ष

और सोनू की आयु y वर्ष

स्थिति I

पाँच वर्ष पूर्व,

नूरी की आयु = x – 5 वर्ष

सोनू की आयु = y – 5 वर्ष

प्रश्नानुसार,

x – 5 = 5(y – 5)

या  x – 5 = 5y – 25

या  x – 5y = 5 – 25

या  x – 5y = – 20 ………… (i)

स्थिति II

दस वर्ष बाद,

नूरी की आयु = x + 10 वर्ष

सोनू की आयु = y + 10 वर्ष

प्रश्नानुसार,

x + 10 = 2(y + 10)

या  x + 10 = 2y + 20

या  x – 2y = 20 – 10

या  x – 2y = 10  ………… (ii)

(चूँकि x के गुणांक स्वत: बराबर है इसलिए गुणांक बराबर नहीं करेंगे|)

अब समीकरण (i) में से (ii) घटाने पर

अत: नूरी की आयु 30 वर्ष है और सोनू की आयु 10 वर्ष है |

(iii) दो अंको की संख्या के अंको का योग 9 है | इस संख्या का 9 गुना, संख्या के अंको को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है | वह संख्या ज्ञात कीजिए |

हल : माना संख्या के इकाई का अंक x है |

और दहाई का अंक y है |

तो वास्तविक संख्या = 10y + x होगी,

और पलटी हुई संख्या = 10x + y

स्थित I

x + y = 9 ……….. (i)

स्थिति II

9(संख्या) = 2(पलटी संख्या)

या     9(10y + x) = 2(10x + y)

या     90y + 9x = 20x + 2y

या     20x – 9x + 2y – 90y = 0

या     11x – 88y = 0

या     x – 8y = 0

या     x = 8y ……….. (ii)

समीकरण (i) में x = 8y रखने पर

x + y = 9

या   8y + y = 9

या    9y = 9

या     y =  = 1

y = 1 समीकरण दो में रखने पर

x = 8y = 8 × 1 = 8

अत: अभीष्ट संख्या = 10y + x

= 10 × 1 + 8

= 18

(iv) मीना 2000 रू निकालने के लिए एक बैंक गई| उसने खजाँची से 50 रू तथा 100 रू के नोट देने के लिए कहा | मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए | ज्ञात कीजिए की उसने 50 रू और 100 रू के कितने -कितने नोट प्राप्त किए |

हल : माना 50 रुपये के नोटों की संख्या = x है |

और 100 रुपये के नोटों की संख्या = y है |

स्थित I

कुल नोट की संख्या = 25

अत: x + y = 25  ……….. (i)

अब स्थित II

50 के x नोट + 100 के y नोट = 2000 रुपये

अत:  50x + 100y = 2000

या    x + 2y = 40   ……….. (ii) (सरल करने पर)

(v) किराए पर पुस्तके देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है| सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए 27 रू अदा किए, जबकि सुसी ने एक पुस्तक पाँच दिनों तक रखने के 21 रुपए अदा किए | नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए |

हल : 

माना नियत किराया = x रुपया

और अतिरिक्त दिन का किराया = y रुपया

स्थिति I

x + 7y = 27  ……… (i)

स्थिति II

x + 5y = 21 ……….. (ii)

अत: नियत किराया = 6 रुपया और अतिरिक्त किराया = 3 रुपया/दिन

प्रश्नावली 3.5 

Ex 3.5 Class 10 गणित Q1. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मो में से किसका एक अद्दितीय हल है, किसका कोई हल नहीं हा या किसके अपरिमित रूप से अनेक हल है | अद्दितीय हल की स्थिति में, उसे ब्रज – गुणन विधि से ज्ञात कीजिए |

(i) x – 3y = 0

3x – 9y – 2 = 0

(ii) 2x + y = 5

3x + 2y = 8

(iii) 3x – 5y = 20

6 x – 10y =  40

(iv) x – 3y – 7 = 0

3x – 3y – 15 = 0

Ex 3.5 Class 10 गणित Q2. (i) a और b के किन मानों के लिए, रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?

2x + 3y = 7

(a – b)x + ( a + b)y = 3a + b – 2

(ii) kके किस मान के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है ?

3x + y = 1

( 2k – 1)x + (k – 1)y = 2k + 1

Ex 3.5 Class 10 गणित Q3. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को प्रतिस्थापन एंव व्रज – गुणन विधियों से हल कीजिए |

किस विधि को आप अधिक उपयुक्त मानते हैं ?

8x + 5y = 9

3x + 2y = 4

Ex 3.5 Class 10 गणित Q4. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो ) किसी बीजगणितीय विधि से ज्ञात कीजिए :

(i) एक छात्रावास के मासिक व्यय का एक भाग नियत है तथा शेष इस पर निर्भर करता है कि छात्र ने कितने दिन भोजन लिया है| जब एक विद्धार्थी A को, जो 20 दिन भोजन करता है, 1000 रू छात्रावास के व्यय के लिए अदा करने पड़ते है, जबकि एक विधार्थी B को,जो 26 दिन भोजन करता है छात्रावास के व्यय के लिए 1180 रू अदा करने पड़ते है | नियत व्यय और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ज्ञात कीजिए |

(ii) एक भिन्न 1/3 हो जाती है, जब उसके अंश से 1  घटाया जाता है और वह 1/4 हो जाती है जब         हर में 8 जोड़ दिया जाता है | वह भिन्न ज्ञात कीजिए |

(iii) यश ने एक टेस्ट में 40 अंक अर्जित किए, जब उसे प्रत्येक सही उत्तर पर 3 अंक मिले तथा अशुद्ध उत्तर पर 1 अंक की कटौती की गई | यदि उसे सही उत्तर पर 4 अंक मिलते तथा अशुद्ध उत्तर पर 2 अंक कटते, तो यश ५०अन्क अर्जित करता | टेस्ट में कितने प्रश्न थे ?

(iv) एक राजमार्ग पर दो स्थान A और B, 100 km की दुरी पर है | एक कार A से तथा दूसरी कार b से एक ही समय चलना प्रारम्भ करती है | यदि ए कारे भिन्न भिन्न चालों से एक ही दिशा में चलती है, तो वे 5 घंटे पश्चात् मिलती हैं | दोनों कारों की चाल ज्ञात कीजिए |

(v) एक आयात का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई कम हो जाता है, यदि उसकी लंबाई 5 इकाई कम कर दी जाती है और चौड़ाई 3 इकाई बढ़ा दी जाती है| यदि हम लंबाई को 3 इकाई और चौड़ाई को 2 इकाई बढ़ा दे, तो क्षेत्रफल 67 वर्ग इकाई बढ़ जाता है | आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए |

प्रश्नावली 3.6 

Ex 3.6 Class 10 गणित Q1. निम्न समीकरणों के युग्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल करके हल कीजिए :

Ex 3.6 Class 10 गणित Q2. निम्न समस्याओं को रैखिक समीकरण युग्म के रूप में व्यक्त कीजिए और फिर उनके हल ज्ञात कीजिए :

(i) रितु धारा के अनुकूल 2 घंटे में 20 km तैर सकती है और धारा के प्रतिकूल 2 घंटे में 4 km तैर सकती है | उसकी स्थिर जल में तैरने की चाल तथा धारा की चाल ज्ञात कीजिए |

(ii) 2 महिलाएँ एंव 5 पुरुष एक कसीदे के काम को साथ- साथ 4 दिन में पूरा कर सकते है | जबकि 3 महिलाएँ एंव 6 पुरुष इसको 3 दिन में पूरा कर सकते है ज्ञात  कीजिए कि इसी कार्य को करने में एक महिला कितना समय लेगी | पुनः इसी कार्य को करने में एक पुरुष कितना समय लेगा |

(iii) रूही 300 km दुरी पर स्थित अपने घर जाने के लिए कुछ दुरी रेलगाड़ी द्वारा तथा कुछ दुरी बस द्वारा तय करती है | यदि वह 60 km रेलगाड़ी द्वारा तथा शेष बस द्वारा यात्रा करती है तो उसे 4 घंटे लगते हैं | यदि वह 100 km रेलगाड़ी से तथा शेष बस से यात्रा करे, तो उसे 10 मिनट अधिक लगते हैं | रेलगाड़ी एंव बस की क्रमशः चाल ज्ञात कीजिए |

प्रश्नावली 3.7 

Ex 3.7 Class 10 गणित Q 1. दो मित्रों अनी और बीजू की आयु में 3 वर्ष का अन्तर है | अणि के पिता धरम की आयु अणि की आयु की दुगुनी और बीजू की आयु अपनी बहन कैथी की आयु की दुगुनी है | कैथी और धरम की आयु का अन्तर 300 वर्ष है | अणि और बीजू की आयु ज्ञात कीजिए |

Ex 3.7 Class 10 गणित Q2. एक मित्र दूसरे से कहता है कि ‘ यदि मुझे एक सौ दे दो, तो मैं आपसे दो गुना धनी बन जाऊँगा |’ दूसरा उत्तर देता है ‘ यदि आप मुझे दस दे दें, तो मैं आपसे छः गुना धनी बन जाऊँगा|’ बताइए की उनकी क्रमशः कल्या संपत्तिया हैं ?

Ex 3.7 Class 10 गणित Q3. एक रेलगाड़ी कुछ दूरी समान चाल से तय करती है | यदि रेलगाड़ी 10 km /h अधिक तेज  चलती होती, तो उसे नियत समय से 2 घंटे कम लगते और यदि रेलगाड़ी 10 km/h धीमी चलती होती, तो उसे नियत समय से 3 घंटे अधिक लगते | रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दुरी ज्ञात कीजिए |

Ex 3.7 Class 10 गणित Q4. एक कक्षा के विधार्थियों को पंक्तियों में खड़ा होना है | यदि पंक्ति में 3 विधार्थी अधिक                होते, तो | पंक्ति कम होती | यदि पंक्ति में 3 विधार्थी कम होते, तो 2 पंक्तियाँ अधिक बनतीं| कक्षा में विधार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए |

Ex 3.7 Class 10 गणित Q5. एक त्रिभुज ABC में,                           है | त्रिभुज के तीनों कोण ज्ञात कीजिए |

Ex 3.7 Class 10 गणित Q6. समीकरणों 5x – y = 5 और 3x  – y = 3 के ग्राफ खींचिए | इन रेखाओं और y -अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए | इस  प्रकार बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का परिकलन कीजिए | 

Ex 3.7 Class 10 गणित Q7. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिए :

(i) px + qy = p – q

qx – pq = p + q

(ii) ax + by = c

bx + ay = 1 + c

(iii) x/a –  y/b = 0

ax + by = a2 + b2

(iv) (a – b)x + (a + b)y = a2 – 2ab – b2

(a + b) (x + y ) = a2 + b2

(v) 152x – 378y = -74

-378x + 152y = – 604

Ex 3.7 Class 10 गणित Q8. ABCD एक चतुर्भुज है इस चक्रीय चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए |

Hope given NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 are helpful to complete your homework.

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 Quadratic Equations (Hindi Medium)

These Solutions are part of NCERT Solutions for Class 10 Maths in Hindi Medium. Here we have given NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 Quadratic Equations .

Chapter 4. द्विघात समीकरण

प्रश्नावली 4.1

Ex 4.1 Class 10 गणित Q1. जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण है: 

(i) (x + 1)² = 2(x – 3)

हल :

(x + 1)² = 2(x – 3)

⇒ x² + 2x + 1 = 2x – 6

⇒ x² + 2x – 2x + 1 + 6 = 0

⇒ x² + 7 = 0

ax² + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर

a = 1, b = 0 और c = 7 प्राप्त होता है

चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |

(ii) x² – 2x = (-2) (3 – x)

हल :

x² – 2x = – 6 + 2x

⇒ x² – 2x – 2x + 6 = 0

⇒ x² – 4x + 6 = 0

ax² + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर

a = 1, b = – 4 और c = 6 प्राप्त होता है

चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |

(iii) (x – 2) (x + 1) = ( x – 1) (x + 3)

हल :  (x – 2) (x + 1) = ( x – 1) (x + 3)

⇒ x² + x – 2x -2  = x² + 3x – x – 3

​⇒ x² – x²+ x + x – 2x + 3x -2 + 3 = 0

​⇒ 2x – x – 1  = 0

ax² + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता  है |

.^.. यह द्विघात समीकरण नहीं है |

(iv) (x – 3) (2x +1) = x( x + 5)

हल : (x – 3) (2x +1) = x( x + 5)

⇒ 2x² + x – 6x – 3= x² + 5x

⇒ 2x² – 5x – 3= x² + 5x

⇒  2x² – x² – 5x – 5x – 3  =  0

⇒  x² – 10x – 3  =  0

ax² + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर

a = 1, b = – 10 और c = – 3 प्राप्त होता है

चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |

(v) (2x – 1) 2(x – 3 ) = (x + 5) (x – 1)

हल :  (2x – 1) 2(x – 3 ) = (x + 5) (x – 1)

⇒ (2x – 1) (2x – 6 ) = (x + 5) (x – 1)

⇒ 4x² – 12x – 2x + 6 = x² + 4x – 5

⇒ 4x² – 14x + 6 = x² – x + 4x – 5

⇒ 4x² – x² – 14x – 4x + 6 + 5 = 0

⇒  3x² – 18x + 11  =  0

ax² + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर

a = 3, b = – 18 और c = 11 प्राप्त होता है

चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |

(vi) x² + 3x + 1 = (x – 2)² 

हल : x² + 3x + 1 = (x – 2)²

⇒  x² + 3x + 1 = x² – 2x +4

⇒x² – x² + 4x + 3x + 1 – 4 = 0

⇒ 7x – 3 =  0

ax² + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता  है |

.^.. यह द्विघात समीकरण नहीं है |

(vii) (x + 2)³ = 2x(x² – 1) 

हल :(x + 2)³ = 2x( x² – 1)

⇒ x³ + 8 + 6 + 12x = 2x³ – 2x

⇒ 2x³ – x³ – 6-12x + 2x  – 8 = 0

⇒  x³ – 6x² -10x – 8 =0

ax² + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता  है |

.^.. यह द्विघात समीकरण नहीं है |

(viii) x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2 )³  

हल : x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2 )³

⇒x³ – 4x² – x + 1  = x³ – 8 + 6x² + 12x

⇒ x³ – x³ –  4x² + 6x² -12x + 1 = 0

⇒  2x² -13x + 1 = 0

ax² + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर

a = 2, b = – 13 और c = 1 प्राप्त होता है

चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |

Ex 4.1 Class 10 गणित Q2. निम्न स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरुपित कीजिए :

(i) एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 m² है | क्षेत्र की लंबाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है | हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है |

हल :   एक  आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल = 528 m²

माना आयताकार भूखंड की चौड़ाई = x m

आयताकार भूखंड की लंबाई  = 2x + 1 m 

आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल = 528 m²

लंबाई x चौड़ाई = 528

(2x + 1)x = 528

2x² + x = 528

2x² + x – 528 = 0

2x² + 33x – 32x – 528 = 0

x(2x + 33) – 16(2x + 33 ) = 0

(2x + 33) (x – 16) = 0

2x + 33 = 0 तथा x – 16 = 0

(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल 306 है | हमें पूर्णाकों को ज्ञात करना है |

हल : दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल  = 306

माना पहला धनात्मक पूर्णाक  = x

दूसरा धनात्मक पूर्णाक  = x + 1  

दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल = 306

पहला धनात्मक पूर्णाक x दूसरा धनात्मक पूर्णाक = 306

(x + 1)x    = 306

x² + x = 306

x² + x – 306 = 0

2x² + 18x – 17x – 306 = 0

x(x + ) – 17(x + 18 ) = 0

(x + 18) (x – 17) = 0

x + 18 = 0 तथा x – 17 = 0

= 18

(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है |उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी| हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करणी है |

हल : माना रोहन की वर्तमान आयु  = x

रोहन की माँ की आयु  = x + 26

तीन वर्ष पश्चात रोहन की आयु  = x + 3

तीन वर्ष पश्चात रोहन की माँ की आयु   = x + 26 + 3

           = x + 29

दोनो की आयु का गुणनफल = 306

(x + 29)(x + 3) = 306

x² + 29x + 3x + 87 = 306

x² + 32x + 87 = 306

x² + 32x = 273

x² + 32x – 273 = 0

x² + 39x – 7x – 273 = 0

x² + 39x – 7x – 273 =0

x(x + 39) – 7(x + 39) = 0

(x + 39) (x – 7) = 0

x + 39 = 0 तथा x – 7 = 0

(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दुरी समान चाल से तय करती है | यदि इसकी चाल 8 km/h कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती | हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है|

हल : 

माना रेलगाड़ी की समान्य चाल x km/h है |

दुरी = 480 km

प्रश्नावली 4.2 

Ex 4.2 Class 10 गणित Q1. गुणनखंड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :  

(i) x² – 3x – 10 = 0

हल : x² – 3x – 10 = 0

x² – 5x + 3x – 10 = 0

x(x – 5) + 2(x – 5) = 0

(x – 5)(x + 2)  = 0

x – 5 = 0 तथा x + 2 = 0

(ii) 2x² ​+ x – 6 = 0

हल :  2x² ​+ x – 6 = 0

2x² + 4x – 3x – 6 = 0

x(x + 2 ) – 3(x + 2) = 0

(x + 2) (x – 3) = 0

x + 2= 0 तथा x – 3 = 0

(iii)√2x² + 7x + 5√2 = 0

हल : √2x² + 7x + 5√2 = 0

√2x² + 5x + 2x + 5√2 = 0

x(√2x +  5) – √2(√2x + 5) = 0

(√2x +  5) (x – √2) = 0

√2 x +  5 = 0 तथा x – √2 = 0

√2x = – 5 तथा x = √2

x = – 5 /√2 तथा x = √2

(iv) 2x² – x + 1/8 = 0 

हल :  2x² ​- x + 1/8 = 0

2x² ​- x + 1/8 = 0

(v) 100x² – 20x + 1 = 0 

हल :   100x² – 20x + 1 =  0

100x² – 10x – 10x + 1 =  0

x(10x – 1) -1(10x – 1) = 0

(x – 1)(10x – 1) = 0

10x – 1 = 0 तथा 10x – 1 = 0

x = 1/10तथा x = 1/10

Ex 4.2 Class 10 गणित Q2. उदाहरण 1 में दी गई समस्याओं को हल कीजिए|

1. जॉन और जीवंती दोनों के पास कुल मिलाकर 45 कंचे हैं। दोनों पाँच-पाँच कंचे खो देते हैं और अब उनके पास कंचों की संख्या का गुणनपफल 124 है। हम जानना चाहेंगे कि आरंभ में उनके पास कितने कंचे थे।

हल :  जॉन और जीवंती दोनों के पास कुल कंचों की संख्या हैं = 45

माना जॉन के पास कुल कंचों की संख्या हैं = x

जीवंती के पास कुल कंचों की संख्या हैं = 45 – x

कुल कंचों पाँच-पाँच कंचे खो जाने के बाद :-

जॉन के पास कुल कंचों की संख्या हैं = x – 5

जीवंती के पास कुल कंचों की संख्या हैं = 45 – x – 5

= 40 – x

शेष कंचों की संख्या का गुणनपफल है = 124

(x – 5)(40 – x) = 306 124

40x – x² – 200 + 5x = 124

– x² ​+ 40x + 5x – 200 – 124 = 0

– x² ​+ 45x – 324 = 0

x² ​- 45x + 324 = 0

x² ​- 36x – 9x + 324 = 0

x(x – 36 ) – 9(x – 36) = 0

(x – 36)(x – 9) = 0

x – 36 = 0 तथा x – 9 = 0

x = 36 तथा x = 9

हल : माना उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या = x

उस दिन प्रत्येक निर्मित खिलौनों का लागत =  55 – x रुपय

उस दिन कुल निर्माण लागत = 750

x(55 – x) = 750

55x – x² = 750

– x² ​+ 55x – 750 = 0

x² ​- 55x + 750 = 0

x² ​- 30x – 25x + 750 = 0

x(x – 30 ) – 25(x – 30) = 0

(x – 30)(x – 25) = 0

x – 30 = 0 तथा x – 25 = 0

x = 30 तथा x = 25

उस दिन प्रत्येक निर्मित खिलौनों का लागत = 55 – x

=  55 – 25

= 30 रूपय

Ex 4.2 Class 10 गणित Q3. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो |

हल : संख्याओं का योग = 27

संख्याओं का गुणनफल = 182

माना पहली संख्या = x

दूसरी संख्या = x + 1

दोनों संख्या का गुणनफल = 182

x(27 – x) = 182

27x – x² = 182

– x² ​+ 27x – 182= 0

x² ​- 27x + 182 = 0

x² ​- 14x – 13x + 182 = 0

x(x – 14 ) – 13(x – 14) = 0

(x – 14)(x – 13) = 0

x – 14 = 0 तथा x – 13 = 0

पहली संख्या = x

= 13

दूसरी संख्या = x + 1

= 13 + 1

= 14

Ex 4.2 Class 10 गणित Q4. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो |

हल : दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल  = 306

माना पहला धनात्मक पूर्णाक  = x

दूसरा धनात्मक पूर्णाक  = x + 1  

दोनों क्रमागत संख्या के वर्गों का योग  =  365

(x)² + (x + 1)²    = 365

x² + x² + 2x + 1 = 365

2x²  + 2x + 1 = 365

2x² + 2x + 1 – 365 = 0

2x² + 2x + 1 – 365 = 0

2x² + 2x – 364 = 0

2(x² + x – 182) = 0

x² + x – 182 = 0/2

x² + x – 182 = 0

x² + 14x – 13x – 182 = 0

x(x + 14) – 13(x + 14) = 0

(x + 14) (x – 13) = 0

x + 14 = 0 तथा x – 13 = 0

= 14

Ex 4.2 Class 10 गणित Q5. एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 cm कम है | यदि कर्ण 13 cm का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए |

हल : समकोण त्रिभुज का आधार = x cm 

समकोण त्रिभुज की ऊँचाई = x – 7cm

समकोण त्रिभुज में कर्ण = 13 cm

पाईथागोरस प्रमेय के प्रयोग से
(कर्ण)² = (ऊँचाई)² + (आधार)²

AC² = AB² + BC)²

(13)² = (x – 7)² + (x)²

169 = x² – 14x + 49 + x²

120 = 2(x² – 7x)

x² – 7x = 2/120

x² – 7x – 60 = 0

x² – 12x + 5x – 60 = 0

x(x – 12) + 5(x – 12) = 0

(x – 12) (x + 5) = 0

x – 12 = 0 तथा x + 5 = 0

= 5 cm

Ex 4.2 Class 10 गणित Q6. एक कुटीर उधोग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है | एक विशेष दिन यह देखा गया की प्रत्येक नाग की निर्माण लागत (रुपयों में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी | यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत 90 रूपए थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नाग की लागत ज्ञात कीजिए |

हल : माना उस दिन निर्मित बर्तनों की संख्या = x

प्रत्येक नाग की निर्माण लागत =  2x + 3

उस दिन की कुल निर्माण लागत = 90 रुपये

x(2x + 3) = 90

2x² + 3x = 9

2x² + 3x – 90 = 0

2x² ​+ 15x – 12x – 90 = 0

x(2x + 15) – 6(2x + 15) = 0

(2x + 15)(x – 6) = 0

2x + 15 = 0 तथा x – 6 = 0

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 Polynomial (Hindi Medium)

These Solutions are part of NCERT Solutions for Class 10 Maths in Hindi Medium. Here we have given NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 Polynomials.

Chapter 2. बहुपद

प्रश्नावली 2.1

Ex 2.1 Class 10 गणित Q1. किसी बहुपद p(x) के लिए, y = p(x) का ग्राफ नीचे आकृति 2.10 में दिया गया है | प्रत्येक स्थिति में, p(x) के शुन्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए |

Solution (i):

p(x) के शुन्यकों की संख्या = 0;  (क्योंकि ग्राफ रेखा x अक्ष को नहीं काटती है )

Solution (ii):

p(x) के शुन्यकों की संख्या = 1; (क्योंकि ग्राफ x अक्ष को 1 बार काटती है )

Solution (iii):

p(x) के शुन्यकों की संख्या = 3;

Solution (iv):

p(x) के शुन्यकों की संख्या = 2;

Solution (v):

p(x) के शुन्यकों की संख्या = 4;

Solution (vi):

p(x) के शुन्यकों की संख्या = 3;

प्रश्नावली 2.2

Ex 2.2 Class 10 गणित Q1. निम्न द्विघात बहुपदों के शुन्यक ज्ञात कीजिए और शुन्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए |

(i) x² – 2x – 8

a = 1, b = – 2, और c = – 8

Ex 2.2 Class 10 गणित Q2. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शुन्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमश: दी गई संख्याएँ हैं : 

प्रश्नावली 2.3 

Ex 2.3 Class 10 गणित Q1. विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करके, निम्न में p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए :

(i) p(x) = x³ – 3x² + 5x – 3, g(x) = x² – 2

(ii) p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5, g(x) = x² + 1 – x

(iii) p(x) = x⁴ – 5x + 6, g(x) = 2 – x²

हल : (i) p(x) = x³ – 3x² + 5x – 3, g(x) = x² – 2

भागफल q(x) = x – 3 और शेषफल = 7x – 9 है |

हल : (ii) p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5, g(x) = x² + 1 – x

भागफल q(x) = x² + x – 3 और शेषफल = 8 है |

हल : (iii) p(x) = x⁴ – 5x + 6, g(x) = 2 – x²

भागफल q(x) = – x² – 2 और शेषफल = – 5x + 10  है |

Ex 2.3 Class 10 गणित Q2. पहले बहुपद से दुसरे बहुपद को भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय का एक गुणनखंड है :

(i) t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12

(ii) x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2

(iii) x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1

हल : (i) t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12

चूँकि शेषफल r(x) = 0 है |

अत: t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12 का एक गुणनखंड है |

हल : (ii) x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2

चूँकि शेषफल r(x) = 0 है |

अत: x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2 का एक गुणनखंड है |

हल : (iii) x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1

चूँकि शेषफल r(x) = 2 है |

अत: x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1 का एक गुणनखंड नहीं है |

हल :

दिया है : p(x) = 3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5

अब 3x² – 5 से 3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5 में भाग देने पर

अत: p(x) = (3x² – 5) (x² + 2x + 1)

अब, x² + 2x + 1 को गुणनखंड कर शुन्यक ज्ञात करने पर –

Ex 2.3 Class 10 गणित Q4. यदि x³ – 3x² + x + 2 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमश: x – 2 और – 2x + 4 हैं तो g(x) ज्ञात कीजिए ।

हल :

दिया है : भाज्य p(x) = x³ – 3x² + x + 2

भागफल q(x) = x – 2,

शेषफल r(x) = – 2x + 4

भाजक g(x) = ?

भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल

p(x) = g(x) × q(x) + r(x)

x³ – 3x² + x + 2 = g(x) (x – 2) + (- 2x + 4)

x³ – 3x² + x + 2 + 2x – 4 = g(x) (x – 2)

g(x) (x – 2) = x³ – 3x² + 3x – 2

अत: भाजक g(x) = x² – x + 1 है |

Ex 2.3 Class 10 गणित Q5. बहुपदों p(x), g(x), q(x) और r(x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथम को संतुष्ट करते हों तथा

(i) घात p(x) = घात q(x) हो

(ii) घात q(x) = घात r(x) हो

(iii) घात r(x) = 0 हो

हल :

युक्लिड विभाजन एल्गोरिथम से

p(x) = g(x) × q(x) + r(x)  जहाँ q(x) ¹ 0 हो

(i) घात p(x) = घात q(x) हो

भाज्य p(x) और भागफल q(x) की घात सामान तभी हो सकता है जब भाजक g(x)की घात 0 अर्थात कोई संख्या हो |

उदाहरण : माना p(x) = 2x² – 6x + 3

और माना g(x) = 2

भाग देने पर

p(x) = 2x² – 6x + 2 + 1

= 2(x² – 3x + 1) + 1

अब  2(x² – 3x + 1) + 1 को p(x) = g(x) × q(x) + r(x) से तुलना करने पर हम पाते हैं :

अत: q(x) = x² – 3x + 1 और r(x) = 1

इससे घात p(x) = घात q(x) प्राप्त होता है |

(ii) घात q(x) = घात r(x) हो

हल : यह स्थिति तब आती है जब p(x) और g(x) का घात सामान हो जैसे –

माना p(x) = 2x² + 6x + 7 और g(x) = x² + 3x + 2

भाग देने पर : q(x) = 2 और r(x) = 3

अत: घात q(x) = घात r(x) है |

(iii) घात r(x) = 0 हो

हल : r(x) = 0 तब होता है जब p(x), g(x) से पूर्णत: विभाजित हो :

माना p(x) = x² – 1 और g(x) = x + 1

विभाजित करने पर

q(x) = x – 1 और r(x) = 0 प्राप्त होता है |

प्रश्नावली 2.4

Ex 2.4 Class 10 गणित प्र. 1. सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शून्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध् को भी सत्यापित कीजिए:
(i) 2x³ + x² – 5x + 2; \(\frac { 1 }{ 2 }\), 1, -2;
(ii) x³ – 4x² + 5x – 2; 2, 1, 1

Ex 2.4 Class 10 गणित प्र० 2. एक त्रिघात बहुपद प्राप्त कीजिए जिसके शून्यकों का योग, दो शून्यकों को एक साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग तथा तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 2, -7, -14 हों।

Ex 2.4 Class 10 गणित प्र० 3. यवि बहुपव x³ – 3x² + x + 1 के शून्यक a – b, a, a + b हों, तो a और b ज्ञात कीजिए।

Ex 2.4 Class 10 गणित प्र० 4. यदि बहुपद x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 के दो शून्यक 2 ± √3 हों, तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए।

Ex 2.4 Class 10 गणित प्र० 5. यदि बहुपद x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 को एक अन्य बहुपद x² – 2x + k से भाग दिया जाए और शेषफल x + a आता हो, तो k तथा a ज्ञात कीजिए।

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