CBSE Class 9

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 Polynomials (बहुपद) (Hindi Medium)

These Solutions are part of NCERT Solutions for Class 9 Maths in Hindi Medium. Here we have given NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 Polynomials

प्रश्नावली 2.1 

Ex 2.1 Class 9 गणित Q1. निम्नलिखित व्यंजकों में कौन-कौन एक चर में बहुपद हैं  और कौन-कौन नहीं हैं ? कारण के साथ उत्तर दीजिए :
(i) 4x² – 3x + 7 
(ii) y² + √2
(iii)3√t + t√2
(iv) y + \(\frac { 2 }{ y }\)
(v) x¹⁰ + y³ + t⁵⁰
हल:
(i) 4x² – 3x + 7
यह एक चर में बहुपद है क्योंकि चर घात एक प्राकृत संख्या है |

(ii) y² + √2
यह एक चर में बहुपद है क्योंकि चर घात एक प्राकृत संख्या है |

(iii)3√t + t√2
यह एक चर में बहुपद नहीं है क्योंकि चर का घात एक भिन्नात्मक संख्या है कोई प्राकृत संख्या नहीं है |

(iv) y + \(\frac { 2 }{ y }\)
यह एक चर में बहुपद नहीं है |

(v) x¹⁰ + y³ + t^​50
यह एक चर में बहुपद नहीं है | बल्कि यह तीन चर में बहुपद है |

Ex 2.1 Class 9 गणित Q2. निम्नलिखित में से प्रत्येक में x² का गुणांक लिखिए |
(i) 2 + x² + x 
(ii) 2 – x² + x³
iii) \(\frac { \pi }{ 2 }\) x² + x
(iv) √2x −1
हल: 
(i) 2 + x² + x
x² का गुणांक = 1

(ii) 2 – x² + x³
x² का गुणांक = –1 ​

(iii) \(\frac { \pi }{ 2 }\) x² + x
x² का गुणांक = \(\frac { \pi }{ 2 }\)

(iv) √2x −1
x² का गुणांक = 0 [क्योंकि यहाँ x² नहीं है इसलिए इसका गुणांक शून्य होगा |]

Ex 2.1 Class 9 गणित Q3. 35 घात के द्विपद का और 100 घात के एकपदी का एक-एक उदाहरण दीजिए|
हल:
35 घात का एक द्विपदी
⇒ 2x³⁵ + 5y ​
Note: द्विपदी का अर्थ दो पदों वाला व्यंजक जैसे –  x + 5, 3a – 2b, 3t + 7 आदि.
100 घात का एक एकपदी
⇒ 3y¹⁰⁰
Note: एकपदी का अर्थ एक पद वाला व्यंजक जैसे- 3x, 5t, y, 3xy आदि.

Ex 2.1 Class 9 गणित Q4. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक के घात लिखिए:
(i) 5x³ + 4x² + 7x
(ii) 4 – y²
(iii) 5t – √7
(iv) 3
हल:
(i) 5x³ + 4x² + 7x
उत्तर: बहुपद का घात = 3
[नोट: बहुत का घात ज्ञात करने के लिए सभी घातों में से सबसे बड़ी घात को चुना जाता है |]

(ii) 4 – y^​2
उत्तर: बहुपद का घात = 2

(iii) 5t – √7
उत्तर: बहुपद का घात = 1

(iv) 3
उत्तर: बहुपद का घात = 0
[नोट: चूँकि यहाँ कोई चर नहीं है इसलिए बहुपद का घात शून्य (0) है |]

Ex 2.1 Class 9 गणित Q5. निम्नलिखित को रैखिक, द्विघात और त्रिघात बहुपद में वर्गीकृत कीजिए:
(i) x^​2 + x 
(ii) x – x³ 
(iii) y + y² + 4
(iv) 1 + x
(v) 3t
(vi) r² 
(vii) 7x²
हल:
(i) x^​2 + x
उत्तर: द्विघात बहुपद

(ii) x – x³
उत्तर: त्रिघात बहुपद

(iii) y + y² + 4
उत्तर: द्विघात बहुपद

(iv) 1 + x
उत्तर: रैखिक बहुपद

(v) 3t
उत्तर: रैखिक बहुपद

(vi) r²
उत्तर: द्विघात बहुपद

(vii) 7x²
उत्तर: त्रिघात बहुपद

प्रश्नावली 2.2

Ex 2.2 Class 9 गणित प्र1. निम्नलिखित पर बहुपद 5x – 4x² + 3 के मान ज्ञात कीजिए :
(i) x = 0
(ii) x = –1
(iii) x = 2
हल:
(i) p(x) = 5x – 4x² + 3
बहुपद p(x) में x = 0 रखने पर
P(0) = 5(0) – 4(0)² + 3 = 0 – 0 + 3 = 3
अत: बहुपद का मान 3 है |

(ii) p(x) = 5x – 4x² + 3
बहुपद p(x) में x = -1 रखने पर
P(1) = 5(-1) – 4(-1)² + 3 = – 5 – 4 + 3 = – 9 + 3 = – 6
अत: बहुपद का मान – 6 है |

(iii) p(x) = 5x – 4x² + 3
बहुपद p(x) में x = 2 रखने पर
P(2) = 5(2) – 4(2)² + 3 = 10 -16 + 3 = – 3
अत: बहुपद का मान – 3 है |

Ex 2.2 Class 9 गणित Q2. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक के लिए p(0), p(1) और p(2) ज्ञात कीजिए| 
(i)  p(y) = y² – y + 1
(ii) p(t) = 2 + t + 2t ² – t ³
(iii) p(x) = x³
(iv) p(x) = (x – 1) (x + 1)
हल:
(i) p(y) = y² – y + 1
P(0) के लिए
P(0) = (0)²– 0 + 1 = 1
P(1) के लिए
P(1) = (1)²– 1 + 1
= 1 – 1 + 1 = 1
P(2) के लिए
P(2) = (2)²– 2 + 1
= 4 – 2 + 1 = 3

(ii) p(t) = 2 + t + 2t²– t³
P(0) के लिए
P(0) = 2 + 0 + 2(0)²– (0)³ = 2
P(1) के लिए
P(1) = 2 + 1 + 2(1)² – (1)³ = 4

P(2) के लिए
P(2) = 2 + 2 + 2(2)²– (2)³
= 4 + 8 – 8 = 4

(iii) p(x) = x³
P(0) के लिए
P(0) = (0)³ = 0
P(1) के लिए
P(1) = (1)³ = 1
P(2) के लिए
P(2) = (2)³ = 8

(iv) P(x) = (x – 1) (x + 1)
P(0) के लिए
P(0) = (0 – 1) (0 + 1) = (-1) (1) = -1
P(1) के लिए
P(1) = (1 – 1) (1 + 1) = 0 (1) = 0
P(2) के लिए
P(2) = (2 – 1) (2 + 1) = 1(3) = 3

Ex 2.2 Class 9 गणित Q3. सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपद के शुन्यक हैं :

हल:  
(i) P(x) = 3x + 1

p(x) = 0, अत: दिया गया x का मान बहुपद का शुन्यक है |
(ii) P(x) = 5x – π

= 5 – π
∵ ​P(x) ≠ 0
∴ x के लिए दिया गया मान P(x) का शुन्यक नहीं है|

(iii) P(x) = x² – 1

Ex 2.2 Class 9 गणित Q4. निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति मेंबहुपद का शुन्यक ज्ञात कीजिए :
(i) P(x) = x + 5
(ii) P(x) = x – 5
(iii) Px) = 2x + 5
(iv) P(x) = 3x – 2
(v) P(x) = 3x
(vi) P(x) = ax, a ≠ 0
हल (i) :
(i)   P(x) = x + 5
⇒ x + 5 = 0
⇒ x = – 5
बहुपद का शुन्यक – 5 हैं |

 हल (ii) :
(ii) P(x) = x – 5
⇒ x – 5  = 0
⇒ x = 5
बहुपद का शुन्यक 5 है|

बहुपद का शुन्यक \(\frac { -5 }{ 2 }\) है |

(iv)  P(x) = 3x – 2
3x – 2 = 0 ≠

बहुपद का शुन्यक \(\frac { 2 }{ 3 }\) है |

प्रश्नावली 2.3

Ex 2.3 Class 9 गणित Q1. x³ + 3x² + 3x + 1 को निम्नलिखित से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए : 
(i) x + 1 
(ii) x – \(\frac { 1 }{ 2 }\)
(iii) x 
(iv) x + θ
(v) 5 + 2x 
हल : (i) x³ + 3x² + 3x + 1 को x + 1 से भाग देने पर 

अत: भाग देने पर शेषफल 0 है|

हल : (iii)  x³ + 3x² + 3x + 1 को x से भाग देने पर       

अत: भाग देने पर शेषफल 1 है|

हल : (iv) x³ + 3x² + 3x + 1 को x + π से भाग देने पर 

अत: भाग देने पर शेषफल – π³ + 3π² – 3π + 1 है|
हल : (v) x³ + 3x² + 3x + 1 को 5 + 2x से भाग देने पर

Ex 2.3 Class 9 गणित Q2. x³ – ax² + 6x – a  को x – a से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए |
हल : p(x) = x³ – ax² + 6x – a  और g(x) = x – a है |
g(x) = x – a का शुन्यक
अत:  x – a = 0
x = a
अत: शेषफल प्रमेय से
p(x) को x – a से भाग देने पर शेषफल प्रमेय द्वारा शेषफल p(a) प्राप्त होगा |
इसलिए, p(a) = (a)³ – a(a)² + 6(a) – a
= a³ – a³ + 6a – a = 5a
अत: शेषफल 5a है |

प्रश्नावली 2.4

Ex 2.4 Class 9 गणित Q1. बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में से किस बहुपद का एक गुणनखंड x + 1 है|
(i) x³ + x² + x + 1
(ii) x⁴ + x³ + x² + x + 1
(iii) x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
(iv) x³ – x³ – (2 + √2)x + √2
हल : (i) p(x) = x³ + x² + x + 1
माना g(x) = x + 1 = 0
⇒ x = – 1
अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से
p(x) = 0 यदि x = -1 p(x) का शुन्यक है |
अत: p(x) में x = -1 रखने पर
p(x) = x³ + x² + x + 1
p(-1) = (-1)³ + (-1)² + (-1) + 1
= – 1 + 1 – 1 + 1 = 0
चूँकि p(-1) = 0 इसलिए -1 p(x) का शुन्यक है और x + 1 p(x) का एक गुणनखंड है |

हल : (ii) p(x) = x⁴ + x³ + x² + x + 1
माना g(x) = x + 1 = 0
⇒ x = – 1
अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से
p(x) = 0 यदि x = -1 p(x) का शुन्यक है |
अत: p(x) में x = -1 रखने पर
p(x) = x⁴ + x³ + x² + x + 1
p(-1) = (-1)⁴ + (-1)³ + (-1)² + (-1) + 1
= 1 – 1 + 1 – 1 + 1 = 1
चूँकि p(-1) = 1 इसलिए -1 p(x) का शुन्यक नहीं है इसलिए गुणनखंड प्रमेय से x + 1 p(x) का एक गुणनखंड नहीं है |

हल : (iii) p(x) = x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
माना g(x) = x + 1 = 0
⇒ x = – 1
अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से
p(x) = 0 यदि x = -1 p(x) का शुन्यक है |
अत: p(x) में x = -1 रखने पर
p(x) = x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
p(-1) = (-1)⁴ + 3(-1)³ + 3(-1)² + (-1) + 1
= 1 – 3 + 3 – 1 + 1 = 1
चूँकि p(-1) = 1 इसलिए -1 p(x) का शुन्यक नहीं है अत: गुणनखंड प्रमेय से x + 1 p(x) का एक गुणनखंड नहीं है |
माना g(x) = x + 1 = 0
⇒ x = – 1
अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से
p(x) = 0 यदि x = -1 p(x) का शुन्यक है |
अत: p(x) में x = -1 रखने पर
इसलिए -1 p(x) का शुन्यक नहीं है अत: गुणनखंड प्रमेय से x + 1 p(x) का एक गुणनखंड नहीं है |

Ex 2.4 Class 9 गणित Q2. गुणनखंड प्रमेय लागु करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में g(x), p(x) का एक गुणनखंड है या नहीं :
(i) p(x) = 2x³ + x² – 2x – 1, g(x) = x + 1
(ii) p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1, g(x) = x + 2
(iii) p(x) = x³ – 4x² + x + 6, g(x) = x – 3
हल : (i) p(x) = 2x³ + x² – 2x – 1, g(x) = x + 1
g(x) का शुन्यक
⇒  x + 1 = 0
अत: x = – 1
गुणनखंड प्रमेय लागु करने पर यदि p(-1) = 0, तो गुणनखंड है अथवा नहीं |
अत: p(x) = 2x³ + x² – 2x – 1  दिया है |
अब, p(-1) = 2(-1)³ + (-1)² – 2(-1) – 1
= 2 (-1) + 1 + 2 – 1 = – 2 + 1 + 2 – 1 = 0
चूँकि p(-1) = 0 है इसलिए -1 p(x) का एक शुन्यक है अत: गुणनखंड प्रमेय से x + 1 p(x) का एक गुणनखंड है |

हल : (ii) p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1, g(x) = x + 2
g(x) का शुन्यक
⇒ x + 2 = 0
अत: x = – 2
गुणनखंड प्रमेय लागु करने पर यदि p(-2) = 0, तो गुणनखंड है अथवा नहीं |
अत: p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1  दिया है |
अब, p(-2) = (-2)³ + 3(-2)² + 3(-2) + 1
= -8 + 12 – 6 + 1 = 13 – 14 = – 1
चूँकि p(-2) = – 1 है इसलिए -2 p(x) का एक शुन्यक नहीं है अत: गुणनखंड प्रमेय से x + 2 p(x) का एक गुणनखंड भी नहीं है |

हल : (iii) p(x) = x³ – 4x² + x + 6, g(x) = x – 3
g(x) का शुन्यक
⇒ x – 3 = 0
अत: x = 3
गुणनखंड प्रमेय लागु करने पर यदि p(3) = 0, तो गुणनखंड है अथवा नहीं |
अत: p(x) = x³ – 4x² + x + 6  दिया है |
अब, p(3) = (3)³ – 4(3)² + 3 + 6
= 27 – 36 + 3 + 6 = 36 – 36 = 0
चूँकि p(3) = 0 है इसलिए 3 p(x) का एक शुन्यक है अत: गुणनखंड प्रमेय से x – 3 p(x) का एक गुणनखंड है |

Ex 2.4 Class 9 गणित Q3. k का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में (x – 1), p(x) का एक गुणनखंड हो :
(i) p(x) = x² + x + k
(ii) p(x) = 2x² + kx + √2
(iii) p(x) = kx² – √2x + 1
(iv) p(x) = kx² – 3x + k
हल : (i) p(x) = x² + x + k
x – 1 p(x) का एक गुणनखंड है |
इसलिए x – 1 = 0 => x = 1
अत: 1 p(x) का शुन्यक है |
इसलिए p(1) = 0
अब p(x) = x² + x + k = 0
p(1) = (1)² + (1) + k = 0
1 + 1 + k = 0
2 + k = 0
k = – 2

हल : (ii) p(x) = 2x² + kx + √2
चूँकि x – 1 p(x) का एक गुणनखंड है|
इसलिए x – 1 = 0
⇒ x = 1
अत: 1 p(x) का शुन्यक है |
इसलिए p(1) = 0
अब p(x) = 2x² + kx + √2 = 0
p(1) = 2(1)² + k(1) + √2  = 0
2 + k + √2 = 0
k = – 2 – √2
k = – (2 + √2)

हल : (iii) p(x) = kx² – √2x + 1
चूँकि x – 1 p(x) का एक गुणनखंड है |
इसलिए x – 1 = 0 => x = 1
अत: 1 p(x) का शुन्यक है |
इसलिए p(1) = 0
अब p(x) = kx² – √2x + 1 = 0
p(1) = k(1)² – √2(1) + 1 = 0
k – √2 + 1 = 0
k = √2 – 1

हल : (iv) p(x) = kx² – 3x + k
चूँकि x – 1 p(x) का एक गुणनखंड है |
इसलिए x – 1 = 0
⇒ x = 1
अत: 1 p(x) का शुन्यक है |
इसलिए p(1) = 0
अब p(x) = kx² – 3x + k = 0
p(1) = k(1)² – 3(1) + k = 0
k – 3 + k = 0
2k – 3 = 0
2k = 3
k = 3/2

Ex 2.4 Class 9 गणित Q4. गुणनखंड ज्ञात कीजिए :
(i) 12x² – 7x + 1
(ii) 2x² + 7x + 3
(iii) 6x² + 5x – 6
(iv) 3x² – x – 4
हल : (i) 12x² – 7x + 1
⇒ 12x² – 3x – 4x + 1
⇒ 3x(4x – 1) – 1(4x – 1)
⇒ (4x – 1) (3x – 1)

हल : (ii) 2x² + 7x + 3
⇒ 2x² + 6x + x + 3
⇒ 2x(x + 3) + 1(x + 3)
⇒ (x + 3) (2x + 1)

हल :  (iii) 6x² + 5x – 6
⇒ 6x² + 9x – 4x – 6
⇒ 3x(2x + 3) – 2(2x + 3)
⇒ (2x + 3) (3x – 2)

हल : (iv) 3x² – x – 4
⇒ 3x² – 4x + 3x – 4
⇒ x(3x – 4) + 1(3x – 4)
⇒ (3x – 4) (x + 1)

Ex 2.4 Class 9 गणित Q5. गुणनखंड ज्ञात कीजिए :
(i) x³ – 2x² – x + 2
(ii) x³ – 3x² – 9x – 5
(iii) x³ + 13x² + 32x + 20
(iv) 2y³ + y² – 2y – 1
हल : (i) x³ – 2x² – x + 2
बहुपद का संभावित शुन्यक हैं – ±1 और ±2
अत: बहुपद x³ – 2x² – x + 2 में x = 1 रखने पर
p(x) = (1)³ – 2(1)² – (1) + 2
=  1 – 2 – 1 + 2 =  0
चूँकि p(x) = 0 है, अत: 1 p(x) का शुन्यक है इसलिए x – 1 p(x) का एक गुणनखंड है |

पहली विधि : x – 1 से x³ – 2x² – x + 2 में भाग देने पर

अत: x³ – 2x² – x + 2 = (x – 1) (x² – x – 2) [चूँकि p(x) = g(x) × q(x) ]
= (x – 1) (x² – 2x + x – 2)
= (x – 1) [x(x – 2) + 1(x – 2)]
= (x – 1) (x – 2) (x + 1)

नोट: चूँकि यह त्रिघात बहुपद है इसलिए इसके तीन शुन्यक होंगे और तीन गुणनखंड होंगे |

दूसरी विधि : हम यहाँ पर x – 1 से भाग की लंबी प्रक्रिया न अपनाकर गुणनखंड विधि से अन्य गुणनखंड प्राप्त कर सकते हैं | चूँकि एक गुणनखंड x – 1 प्राप्त है|
x³ – 2x² – x + 2 = x²(x -1) – x² – x + 2
= x²(x -1) – x(x – 1) – 2x + 2
= x²(x -1) – x(x – 1) – 2(x – 1)
= (x – 1) (x² – x – 2)
= (x – 1) (x² – 2x + x – 2)
= (x – 1) [x(x – 2) + 1(x – 2)]
= (x – 1) (x – 2) (x + 1)

तीसरी विधि : हमें बहुपद का संभावित शुन्यक ±1 और ±2 ज्ञात है :
p(x) में x = 1, – 1, 2 और – 2 रखने पर
p(1) = 0 है | अत: x – 1 एक गुणनखंड है |

अब p(-1) = x³ – 2x² – x + 2
= (-1)³ – 2(-1)² -(-1) + 2
= -1 – 2 + 1 + 2 = 0
अत: p(-1) = 0 है अत: x + 1 एक गुणनखंड है |

अब p(2) = x³ – 2x² – x + 2
= (2)³ – 2(2)² -(2) + 2
= 8 – 8 – 2 + 2
= 0
p(2) = 0 है अत: x – 2 p(x) का एक गुणनखंड है |

अब p(-2) = x³ – 2x² – x + 2
= (-2)³ – 2(-2)² -(-2) + 2
= -8 – 8 + 2 + 2
= -16 + 4 = -12
p(-2) ≠ 0 अत: – 2 p(x) का शुन्यक नहीं है |
अत:  x³ – 2x² – x + 2 के गुणनखंड है (x – 1) (x + 1) (x – 2)

हल : (ii) x³ – 3x² – 9x – 5
बहुपद का संभावित शुन्यक ± 1 और ±5 है |
बहुपद में x = -1 रखने पर
p(-1) = x³ – 3x² – 9x – 5
= (-1)³ – 3(-1)² – 9(-1) – 5
= -1 – 3 + 9 – 5 = 9 – 9 = 0
अत: x = -1 p(x) का शुन्यक है इसलिए x + 1 एक गुणनखंड है |
x³ – 3x² – 9x – 5 = x²(x + 1) – 4x² – 9x – 5
= x²(x + 1) – 4x(x + 1) – 5x – 5
= x²(x + 1) – 4x(x + 1) – 5(x + 1)
= (x + 1) (x² – 4x – 5)
= (x + 1) (x² – 5x + x – 5)
= (x + 1) [x(x – 5) +1(x – 5)]
= (x + 1) (x – 5) (x + 1)
अत: त्रिघात बहुपद के गुणनखंड (x + 1), (x – 5) और (x + 1) है |

हल : (iii) x³ + 13x² + 32x + 20
बहुपद का संभावित शुन्यक ±1, ±2, ±4, ±5, ±10 और ±20 हैं |
बहुपद में x = – 1 रखने पर
p(x) = x³ + 13x² + 32x + 20
= (-1)³ + 13(-1)² + 32(-1) + 20
= -1 + 13 – 32 + 20 = 33 – 33 = 0
चूँकि p(-1) = 0 है अत: x + 1 बहुपद का एक गुणनखंड है |
x³ + 13x² + 32x + 20 = x²(x + 1) + 12x² + 32x + 20
= x²(x + 1) + 12x(x + 1) + 20x + 20
= x²(x + 1) + 12x(x + 1) + 20(x + 1)
= (x + 1) (x² + 12x + 20)
= (x + 1) (x² + 10x + 2x + 20)
= (x + 1) [(x(x + 10) + 2(x + 10)]
= (x + 1) (x + 10) (x + 2)
अत: त्रिघात बहुपद के गुणनखंड (x + 1), (x + 10) और (x + 2) है|

हल : (iv) 2y³ + y² – 2y – 1
= y²(2y + 1) -1(2y + 1)
= (y² – 1) (2y + 1)
= (y + 1) ( y – 1) (2y + 1)
बहुपद के गुणनखंड (y + 1), ( y – 1) और (2y + 1)हैं |

उपयोगी बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ: 

1. (x + y)² = x² + 2xy + y²
2. (x – y)² = x² – 2xy + y²
3. x² – y² = (x + y) (x – y)
4. (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab
5. (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
6. (x – y)³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³
7. x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²)
8. x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²)
9. (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx
10. x³ + y³ + z³ – 3xyz = ( x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)

प्रश्नावली 2.5

Ex 2.5 Class 9 गणित Q1. उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए:
(i) (x + 4) (x + 10)
(ii) (x + 8) (x – 10)
(iii) (3x + 4) (3x – 5)

(v) (3 – 2x) (3 + 2x)
हल: 
(i) (x + 4) (x + 10) 
सर्वसमिका  (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(x + 4) (x + 10) = x² + (4 + 10)x + (4)(10)
= x² + 14x + 40

(ii) (x + 8) (x – 10) 
सर्वसमिका  (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(x + 8) (x – 10) = x² + [8 + (-10)]x + (8)(-10)
= x² – 2x – 80

(iii) (3x + 4) (3x – 5)
सर्वसमिका  (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(3x + 4) (3x – 5) = (3x)² + [4 + (-5)]3x + (4)(-5)
= 9x² – 3x – 20

सर्वसमिका (x + y) (x – y) = x² – y² का प्रयोग करने पर

(v) (3 – 2x) (3 + 2x)
सर्वसमिका (x + y) (x – y) = x² – y² का प्रयोग करने पर  ​
(3 – 2x) (3 + 2x) = (3)² – (2x)²
= 9 – 4x²

Ex 2.5 Class 9 गणित Q2. सीधे गुना किये बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिए :
(i) 103 × 107
(ii) 95 × 96
(iii) 104 × 96
हल:
(i) 103 × 107 = (100 + 3) (100 + 7)
सर्वसमिका  (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(100 + 3) (100 + 7) = (100)²​ + (3 + 7)100 + 3×7
=10000 + 1000 + 21 = 11021

(ii) 95 × 96 = (90 + 5) (90 + 6)
सर्वसमिका  (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(90 + 5) (90 + 6) = (90)²​ + (5 + 6)90 + 5×6
= 8100 + 990 + 30 = 9120

(iii)  104 × 96 = (100 + 4) (100 – 4)
सर्वसमिका (x + y) (x – y) = x² – y² का प्रयोग करने पर  ​
(100)² – (4)²
= 10000 – 16 = 9984

Ex 2.5 Class 9 गणित 3. उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित का गुणनखंड कीजिए:
(i) 9x² + 6xy + y² 
(ii) 4y² – 4y + 1

हल:
(i) 9x² + 6xy + y² 
= (3x)² + 2.3x.y + (y)²     [ ∵ x² + 2xy + y² = (x + y)²]
∴ = (3x + y)²
=  (3x + y)  (3x + y)

(ii) 4y² – 4y + 1 
= (2y)² – 2.2y.1 + (1)²     [ ∵ x² – 2xy + y² = (x – y)²]
∴ = (2y – 1)²
=  (2y – 1)  (2y – 1)


[ ∵ x² – y² = (x + y) (x – y) ​]

Ex 2.5 Class 9 गणित Q4. उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए:
(i) (x + 2y + 4z)² 
(ii) (2x – y + z)² 
(iii) (–2x + 3y + 2z)²
(iv) (3a – 7b – c)² 
(v) (–2x + 5y – 3z)²
हल:
(i) (x + 2y + 4z)²  
यहाँ माना कि a = x, b = 2y, c = 4z और a, b तथा c का मान सर्वसमिका
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca में रखने पर
∴ (x + 2y + 4z)² = (x)² + (2y)² + (4z)² + 2(x)(2y) + 2(2y)(4z) + 2(4z)(x)
= x² + 4y² + 16z² + 4xy + 16yz + 8zx

(ii) (2x – y + z)² 
यहाँ माना कि a = 2x, b = – y, c = z और a, b तथा c का मान सर्वसमिका
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca में रखने पर
∴ (2x – y + z)² = (2x)² + (- y)² + (z)² + 2(2x)(- y) + 2(- y)(z) + 2(z)(2x)
= 4x² + y² + z² – 4xy – 2yz + 4zx

(iii) (–2x + 3y + 2z)²
यहाँ माना कि a = – 2x, b = 3y, c = 2z और a, b तथा c का मान सर्वसमिका
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca में रखने पर
∴ (-2x + 3y + 2z)²
= (-2x)² + (3y)² + (2z)² + 2(-2x)(3y) + 2(3y)(2z) + 2(2z)(-2x)
= 4x² + 9y² + 4z² – 12xy  + 12yz – 8zx

(iv) (3a – 7b – c)² 
यहाँ माना कि x = 3a, y = -7b, z = -c और x, y तथा z का मान सर्वसमिका
(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zxमें रखने पर
∴ (3a – 7b – c)²
= (3a)² + (-7b)² + (-c)² + 2(3a)(-7b) + 2(-7b)(-c) + 2(-c)(3a)
= 9a² + 49b² + c² – 42ab  + 14bc – 6ac

(v) (-2x + 5y – 3z)²
यहाँ माना कि a = – 2x, b = 5y, c = -3z और a, b तथा c का मान सर्वसमिका
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca में रखने पर
∴ (-2x + 5y – 3z)²
= (-2x)² + (5y)² + (-3z)² + 2(-2x)(5y) + 2(5y)(-3z) + 2(-3z)(-2x)
= 4x² + 25y² + 9z² – 20xy  – 30yz + 12zx

Ex 2.5 Class 9 गणित Q5. गुणनखंड कीजिए:
(i) 4x² + 9y² + 16z² + 12xy – 24yz – 16xz
हल:
(i) 4x² + 9y² + 16z² + 12xy – 24yz – 16xz
= (2x)² + (3y)² + (4z)² + 2(2x)(3y) + 2(3y)(4z) + 2(4z)(2x)
[∵ a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)² ]
= (2x + 3y + 4z)²
= (2x + 3y + 4z) (2x + 3y + 4z)

Ex 2.5 Class 9 गणित Q6. निम्नलिखित घनों को विस्तारित रूप में लिखिए :
(i) (2x + 1)³ 
(ii) (2a – 3b)³


हल:
(i) (2x + 1)³ 
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³]
(2x + 1)³ = (2x)³ + 3 (2x)² (1) + 3 (2x) (1)² + (1)³
= 8x³ + 12x² + 6x + 1

(ii) (2a – 3b)³
[सर्वसमिका के प्रयोग से (x – y)³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³]
(2a – 3b)³ = (2a)³ – 3 (2a)² (3b) + 3(2a) (3b)² – (3b)³
= 8a³ – 36a²b + 54ab² – 27b³

[सर्वसमिका के प्रयोग से (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³]


[सर्वसमिका के प्रयोग से (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³]

Ex 2.5 Class 9 गणित Q7. उपयुक्त सर्वसमिका का प्रयोग कर निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए :
(i) (99)³ 
(ii) (102)³ 
(iii) (998)³
हल : 
(i) (99)³ 
= (100 – 1)³
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³]
(100 – 1)³ = (100)³ – 3(100)²(1) + 3(100)(1)² – (1)³
= 1000000 – 30000 + 300 – 1 = 1000300 – 30001 = 970299

(ii) (102)³ 
= (100 + 2)³
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³]
(100 + 2)³ = (100)³ + 3 (100)² (2)+ 3 (100) (2)² + (2)³
= 1000000 + 60000 + 1200 + 8 = 1061208

(iii) (998)³
= (1000 – 2)³
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³]
(1000 – 2)³ = (1000)³ – 3 (1000)² (2)+ 3(1000) (2)² – (2)³
= 1000000000 – 6000000 + 12000 – 8
= 1000012000 – 6000008
= 994011992

Ex 2.5 Class 9 गणित Q8. निम्नलिखित का गुणनखंड कीजिए :
(i) 8a³ + b3 + 12a²b + 6ab²
(ii) 8a² – b² – 12a²b + 6ab²
(iii) 27 – 125a³ – 135a + 225a²
(iv) 64a³ – 27b³ – 144a²b + 108ab²

हल:
(i) 8a³ + b3 + 12a²b + 6ab² 
= (2a)³ +(b)³ + 3(2a)²(b) + 3(2a)(b)²
[सर्वसमिका के प्रयोग से  x³  + y³ + 3x²y + 3xy² = (x + y)³ ]
= (2a)³ +(b)³ + 3(2a)²(b) + 3(2a)(b)² = (2a + b)³
= (2a + b)(2a + b)(2a + b)

(ii) 8a² – b² – 12a²b + 6ab²
= (2a)³ – (b)³ – 3(2a)²(b) + 3(2a)(b)²
[सर्वसमिका के प्रयोग से  x³ – y³ – 3x²y + 3xy² = (x – y)³ ]
= (2a)³ – (b)³ – 3(2a)²(b) + 3(2a)(b)² = (2a – b)³​
= (2a – b)(2a – b)(2a – b)

(iii) 27 – 125a³ – 135a + 225a²
= (3)³ – (5a)³ – 3(3)²(5a) + 3(3)(5a)²
[सर्वसमिका के प्रयोग से  x³ – y³ – 3x²y + 3xy² = (x – y)³ ]
= (3)³ – (5a)³ – 3(3)²(5a) + 3(3)(5a)²= (3 – 5a)³​
= (3 – 5a)(3 – 5a)(3 – 5a)

(iv) 64a³ – 27b³ – 144a²b + 108ab²  
= (4a)³ – (3b)³ – 3(4a)²(3b) + 3(4a)(3b)²
[सर्वसमिका के प्रयोग से x³ – y³ – 3x²y + 3xy² = (x – y)³ ]
= (4a)³ – (3b)³ – 3(4a)²(3b) + 3(4a)(3b)² = (4a – 3b)³​
= (4a – 3b)(4a – 3b)(4a – 3b)
[सर्वसमिका के प्रयोग से x³ – y³ – 3x²y + 3xy² = (x – y)³ ]

Ex 2.5 Class 9 गणित Q9. सत्यापित कीजिए :
(i) x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²)
हल :
RHS = (x + y) (x² – xy + y²)
= x(x² – xy + y²) + y (x² – xy + y²)
= x³ – x²y + xy² + x²y – xy² + y³

= x³ + y³
∵ LHS = RHS सत्यापित

(ii) x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²)
हल :
RHS = (x – y) (x² + xy + y²)
x(x² + xy + y²) – y (x² + xy + y²)
= x³ + x²y + xy² – x²y – xy² – y³

= x³ – y³
∵ LHS = RHS सत्यापित |

Ex 2.5 Class 9 गणित Q10. निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंड ज्ञात कीजिए:
(i) 27y³ + 125z³ 
(ii) 64m³ – 343n³
हल : 
(i) 27y³ + 125z³ 
= (3y)³ + (5z)³
[सर्वसमिका के प्रयोग से x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²) ]
(3y)³ + (5z)³​ = (3y + 5y) [(3y)² – (3y)(5z) + (5z)²]
= (3y + 5y) (9y² – 15yz + 25z²)

(ii) 64m³ – 343n³
हल : 
(ii) 64m³ – 343n³
= (4m)³ – (7n)³
[सर्वसमिका के प्रयोग से x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²) ]
(4m)³ – (7n)³​ = (4m – 7n) [(4m)² + (4m)(7n) + (7n)²]
= (4m – 7n) (16m² + 28mn + 49n^​2)

Ex 2.5 Class 9 गणित Q11. गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए : 27x³ + y³ + z³ – 9xyz
हल : 
= (3x)³ + (y)³ + (z)³ – 9xyz
∵ x³ + y³ + z³ – 3xyz =  (x + y + z) (x² + y² + z^​2 – xy – yz – zx)
सर्वसमिका के प्रयोग से :
= (3x + y + z) ((3x)² + (y)² + (z)² – (3x)(y) – (y)(z) – (z)(3x))
= (3x + y + z) (9x² + y² + z² – 3xy – yz – 3zx)

Ex 2.5 Class 9 गणित Q12. सत्यापित कीजिए: 
x³ + y³ + z³ – 3xyz = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (x + y + z) [(x – y)² + (y – z)² + (z – x)²]
हल : 
LHS =  \(\frac { 1 }{ 2 }\) (x + y + z) [x² – 2xy + y² + y² – 2yz + z² + z² – 2xz + x²]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) (x + y + z) (2x² + 2y² + 2z² – 2xy – 2yz – 2xz)
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 2(x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – xz)
= (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – yz – xz)
= x³ + y³ + z³ – 3xyz [सर्वसमिका के प्रयोग से ]
LHS = RHS

Ex 2.5 Class 9 गणित Q13. यदि x + y + z = 0 हो, तो दिखाइए कि x³ + y³ + z³ = 3xyz है | ​
हल : x + y + z = 0 दिया है |
x³ + y³ + z³ – 3xyz = ( x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)
= (0) (x² + y² + z² – xy – yz – zx) = 0
अत: x³ + y³ + z³ – 3xyz = 0
या x³ + y³ + z³ = 3xyz सत्यापित

Ex 2.5 Class 9 गणित Q14. वास्तव में घनों का परिकलन किए बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए : 
(i) (-12)³ + (7)³ + (5)³
(ii) (28)³ + (-15)³ + (-13)³
हल : (i) (-12)³ + (7)³ + (5)³

प्रश्न 13. में हमने एक सर्वसमीका प्राप्त किया था कि यदि x + y + z = 0 हो तो
x³ + y³ + z³ = 3xyz है |
अत: इस सर्वसमिका में x = -12, y = 7 और z = 5 रखने पर
चूँकि – 12 + 7 + 5 => -12 + 12 = 0
अत: x + y + z = 0 है |
अब, x³ + y³ + z³ = 3xyz  [x, y, और z का मान रखने पर ]
=> (-12)³ + (7)³ + (5)³ = 3 × (-12) × 7 × 5
= – 1260

हल : (ii) (28)³ + (–15)³ + (–13)³
28 + (-15) + (-13) = 28 – 28 = 0
चूँकि x + y + z = 0 है |
इसलिए x³ + y³ + z³ = 3xyz
अब, (28)³ + (–15)³ + (–13)³​ = 3 × 28 × (-15) × (-13)
= 133380

Ex 2.5 Class 9 गणित Q15. नीचे दिए गए आयातों, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए है, में से प्रत्येक की लंबाई और चौड़ाई के लिए संभव व्यंजक दीजिये | 
(i) क्षेत्रफल : 25a² – 35a + 12 
(ii) क्षेत्रफल : 35y² + 13y – 12 
हल : (i) क्षेत्रफल : 25a² – 35a + 12
क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
अत: 25a² – 35a + 12 के दो गुणनखंड होंगे जिसमें एक लंबाई होगा और दूसरा चौड़ाई होगा |
गुणनखंड करने पर :
25a² – 35a + 12 = 25a² + 15a + 20a + 12
= 5a(5a + 3) + 4(5a + 3)
= (5a + 3) (5a + 4)
चूँकि (5a + 3) < (5a + 4) है |
अत: लंबाई = 5a + 4 और चौड़ाई = 5a + 3

हल : (ii) क्षेत्रफल : 35y² + 13y – 12
गुणनखंड करने पर
35y² + 13y – 12 ​= 35y²​ + 28y – 15y – 12
= 7y(5y + 4) – 3(5y + 4)
= (5y + 4) (7y – 3)
अत: लंबाई = 5y + 4 और चौड़ाई = 7y – 3

Ex 2.5 Class 9 गणित Q16. घनाभों (cuboids), जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं कि, विमाओं के लिए संभव व्यंजक क्या हैं ? 
(i) आयतन : 3x³ – 12x 
(ii) आयतन : 12ky² + 8ky – 20k 
हल : (i) आयतन : 3x³ – 12x
गुणनखंड करने पर
आयतन = 3x³ – 12x = 3x(x – 4)
चूँकि आयतन = L × B × H
अत: L = 3, B = x और H = x – 4

हल : (ii) आयतन : 12ky² + 8ky – 20k
आयतन = 12ky² + 8ky – 20k
= 4k (3y² + 2y – 5)
= 4k (3y² + 5y – 3y – 5)
= 4k [y (3y + 5) – 1(3y + 5)]
= 4k (3y + 5) (y – 1)
चूँकि आयतन = L × B × H
अत: L = 4k, B = (3y + 5) और H = (y – 1)

Hope given NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 are helpful to complete your homework.

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 1 Number systems (Hindi Medium)

These Solutions are part of NCERT Solutions for Class 9 Maths in Hindi Medium. Here we have given NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 1 Number systems.

प्रश्नावली 1.1 

Ex 1.1 Class 9 गणित Q2. 3 और 4 के बीच में छ: परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए |
Solution:
हमें छ: संख्याएँ प्राप्त करना है |
इसलिए, 6 + 1 = 7
अब, 3 और 4 को परिमेय संख्या के रूप में व्यक्त करने पर,

Ex 1.1 Class 9 गणित Q4. नीचे दिए गए कथन सत्य हैं या असत्य? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए।
(i) प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।
(ii) प्रत्येक पूर्णांक एक पूर्ण संख्या होती है।
(iii) प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।
Solution:
(i) प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या होती है। (सत्य)
कारण: क्योंकि पूर्ण संख्या में सभी प्राकृत संख्याएँ शामिल हैं |
(ii) प्रत्येक पूर्णांक एक पूर्ण संख्या होती है। (असत्य)
कारण: क्योंकि पूर्णांक में ऋणात्मक पूर्णांक भी होते हैं जबकि पूर्ण संख्याओं में कोई भी संख्या ऋणात्मक नहीं होता हैं |
(iii) प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्ण संख्या होती है। (असत्य)
कारण : परिमेय संख्या में अन्य कई प्रकार के संख्याएँ आती है जिनकों पूर्ण संख्या के जैसे प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है |

प्रश्नावली 1.2

Ex 1.2 Class 9 गणित Q1. नीचे दिए गए कथन सत्य हैं या असत्य हैं? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए।
(i) प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है। 
उत्तर:
(i) प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है। (सत्य)
कारण: क्योंकि वास्तविक संख्याओं में अपरिमेय संख्याएँ भी होती है |
(ii) संख्या रेखा का प्रत्येक बिन्दु √m  के रूप का होता है, जहाँ m एक प्राकृत संख्या है।
उत्तर:
(ii) संख्या रेखा का प्रत्येक बिन्दु √m  के रूप का होता है, जहाँ m एक प्राकृत संख्या है। (असत्य)
कारण: संख्या रेखा पर दोनों ऋणात्मक एवं धनात्मक संख्याएँ होती है, परन्तु प्रत्येक बिंदु पर एक वर्गमूल संख्या हो यह संभव नहीं है |
(iii) प्रत्येक वास्तविक संख्या एक अपरिमेय संख्या होती है।
उत्तर:
(iii) प्रत्येक वास्तविक संख्या एक अपरिमेय संख्या होती है। (असत्य)
कारण: क्योंकि वास्तविक संख्याओं के समूह में परिमेय सा संख्याएँ एवं अपरिमेय संख्याएँ दोनों होती हैं | केवल अपरिमेय संख्या नहीं होती हैं |

Ex 1.2 Class 9 गणित Q1. Q2. क्या सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय होते हैं? यदि नहीं, तो एक ऐसी संख्या के वर्गमूल का उदाहरण दीजिए जो एक परिमेय संख्या है।
उत्तर:
सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय नहीं होते हैं,
हम धनात्मक पूर्णांक 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, और 9 का उदाहरण लेते है |
√1 = 1 (परिमेय)
√2 = √2 (अपरिमेय)
√3 = √3 (अपरिमेय)
√4 = 2 (परिमेय)
√5 = √5 (अपरिमेय)
√6 = √6 (अपरिमेय)
√7 = √7 (अपरिमेय)
√8 = √8 (अपरिमेय)
√9 = 3 (परिमेय)
उपरोक्त उदाहरण में हम देखते हैं कि 1, 4 और 9 की वर्गमूल क्रमश: 1, 2, और 3 है जो परिमेय संख्या है |

Ex 1.2 Class 9 गणित Q3. दिखाइए कि संख्या रेखा पर √5  को किस प्रकार निरूपित किया जा सकता है।
​Solution:

OA = 1 इकाई, AB = 1 इकाई,
समकोण ΔAOB में, पाइथोगोरस प्रमेय से,
OB² = OA² + AB²
OB² = 1² + 1²
OB² = 2
​OB = √2
अब समकोण ΔBOC में, पाइथोगोरस प्रमेय से,
OC² = OB² + BC²
OC² = (√2)² + 1²
OC² = 2 + 1 = 3
OC = √3
अब समकोण ΔCOD में, पाइथोगोरस प्रमेय से,
OD² = OC² + DC²
OD² = (√3)² + 1²
OD² = 3 + 1 = 4
OD = √4 = 2
अब समकोण ΔDOE में, पाइथोगोरस प्रमेय से,
OE² = OD² + DE²
OE² = (2)² + 1²
OE² = 4 + 1 = 5
OE = √5
अब O को केंद्र और OE को त्रिज्या मानकर एक चाप खींचेगे जो संख्या रेखा को OE’ पर प्रतिच्छेद करता है जहाँ  OE = OE’ = है |

प्रश्नावली 1.3 

Ex 1.3 Class 9 गणित Q1. निम्नलिखित भिन्नों को दशमलव रूप में लिखिए और बताइए कि प्रत्येक का दशमलव प्रसार किस प्रकार का है:

Solution: 

Solution: 
और q पूर्णांक हैं जिनका 1 के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है अर्थात ये सह-अभाज्य संख्याएं हैं और इनका सांत दशमलव प्रसार है |
सांत दशमलव प्रसार के लिए q का अभाज्य गुणनखंड 2ⁿ या 5ⁿ या 2^m× 5ⁿ के रूप का होना चाहिए |

Ex 1.3 Class 9 गणित Q7. ऐसी तीन संख्याएँ लिखिए जिनके दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती हों |
हल : सभी अपरिमेय संख्याएँ अनवसानी अनावर्ती दशमलव प्रसार देती है| इसलिए तीन उदाहरण हैं – √2, √3, √5 आदि |

अर्थात 0.714285 ……. और 0.81818181… के बीच तीन अपरिमेय संख्याएँ हैं |
(i) 0.72010010001……
(ii) 0.751121231234……..
(iii) 0.80145672434890………

Ex 1.3 Class 9 गणित Q9. बताइए कि निम्नलिखित संख्याओं में कौन-कौन संख्याएँ परिमेय और कौन-कौन संख्याएँ अपरिमेय हैं |
(i)  √23
हल : अपरिमेय संख्या हैं |
(ii) √225  = 15 
हल : परिमेय संख्या है |
(iii) 0.3796
हल : परिमेय सख्या है |
(iv) 7.478778 ….
हल : अपरिमेय संख्या हैं |
(v) 1.101001000100001…..
हल : अपरिमेय संख्या हैं |

प्रश्नावली 1.4 

Ex 1.4 Class 9 गणित Q1. उत्तरोत्तर आवर्धन करके संख्या रेखा पर 3.765 को देखिये |
हल : 

Ex 1.4 Class 9 गणित Q2. 4 दशमलव स्थानों तक संख्या रेखा पर 4.2626…. को देखिए |
हल : 4 दशमलव स्थान तक 4.2626…. है |

प्रश्नावली 1.5

Ex 1.5 Class 9 गणित Q4. संख्या रेखा पर √9.3  को निरुपित कीजिए |
हल :
(i) एक 9.3 cm का रेखाखंड AB खींचिए और से 1 cm आगे बिंदु C तक बढाइये |
(ii) इसप्रकार बने रेखाखंड AC का लंब समद्विभाजक खींचिए जो AC को बिंदु O पर काटती है |
(iii) AO या CO को वृत्त की त्रिज्या मानकर एक अर्धगोला खींचिए |
(iv) बिंदु B से AC पर लंब खींचिए जो अर्धवृत की परिधि को बिंदु D पर काटती है | BD या BE अभीष्ट √9.3 का संख्या रेखा पर माप है |

प्रश्नावली 1.6 

Ex 1.6 Class 9 गणित Q1. ज्ञात कीजिए :

Ex 1.6 Class 9 गणित Q2. ज्ञात कीजिए :

Ex 1.6 Class 9 गणित Q3. सरल कीजिए : 

Hope given NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 1 are helpful to complete your homework. If you have any